多维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布知识点整理

一、多维随机变量的基本概念

1.1 多维随机变量的定义

设是一个随机试验，样本空间为。设是定义在上的个随机变量，由它们构成的一个维向量称为维随机向量或维随机变量。

1.2 联合分布函数

定义

对于维随机变量，元函数：

称为维随机变量的联合分布函数。

二维联合分布函数

对于二维随机变量，联合分布函数为：

基本性质（高频考点）

1. 单调性：是变量和的不减函数

2. 有界性：

3. 右连续性：关于右连续，关于右连续

4. 边缘极限：

5. 矩形不等式：对于任意，有：
   

常考题型：利用分布函数性质判断是否为 valid 的分布函数

二、二维离散型随机变量

2.1 联合概率分布律

定义

如果二维随机变量全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称是离散型的二维随机变量。

设所有可能取值为，，则：

称为二维离散型随机变量的联合概率分布律。

基本性质

1. 非负性：

2. 规范性：

2.2 边缘分布律

定义

对于二维离散型随机变量：

• 的边缘分布律：

• 的边缘分布律：

重要考点：联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布

2.3 条件分布律

定义

设是二维离散型随机变量，对于固定的，若，则：

称为在条件下随机变量的条件分布律。

同理，对于固定的，若，则：

称为在条件下随机变量的条件分布律。

常考题型：由联合分布律求边缘分布律和条件分布律

三、二维连续型随机变量

3.1 联合概率密度函数

定义

设二维随机变量的分布函数为，如果存在非负可积的二元函数，使得对于任意实数，有：

则称是连续型的二维随机变量，函数称为二维随机变量的联合概率密度函数。

基本性质（高频考点）

1. 非负性：

2. 规范性：

3. 概率计算：

4. 导数关系：在的连续点处，有

重要提醒：概率密度函数可以大于1，这与概率的取值范围不同

3.2 边缘概率密度

定义

对于二维连续型随机变量：

• 的边缘概率密度：

• 的边缘概率密度：

计算要点：

• 确定积分区域：根据联合概率密度的定义域确定积分上下限

• 分段函数处理：如果联合概率密度是分段函数，边缘概率密度也一定是分段函数

3.3 条件概率密度

定义

设二维连续型随机变量的联合概率密度为，边缘概率密度分别为和：

对于固定的，若，则：

称为在条件下的条件概率密度。

对于固定的，若，则：

称为在条件下的条件概率密度。

相应的条件分布函数为：

常考题型：

1. 由联合概率密度求边缘概率密度

2. 计算条件概率密度

3. 利用条件概率密度求条件概率

四、随机变量的独立性

4.1 独立性定义

一般定义

设及，分别是二维随机变量的联合分布函数及边缘分布函数。若对于所有有：

则称随机变量和是相互独立的。

离散型情况

对于二维离散型随机变量，和相互独立的充要条件是：

连续型情况

对于二维连续型随机变量，和相互独立的充要条件是：

4.2 独立性的重要性质（高频考点）

1. 函数独立性：若和相互独立，则它们的函数和也相互独立

2. 多维推广：若相互独立，则其中任意个随机变量也相互独立

3. 期望性质：若和相互独立，则

4. 方差性质：若和相互独立，则

4.3 不相关性

定义

若随机变量和的相关系数，则称和不相关。

关系（重要考点）

• 相互独立 不相关

• 不相关 相互独立（除非是正态分布）

特殊情况：对于正态分布，独立性与不相关性是等价的

五、常用二维分布

5.1 二维均匀分布

定义

设是平面上的有界区域，面积为。若二维随机变量的联合概率密度为：

则称在区域上服从均匀分布。

性质

1. 概率计算：

2. 边缘分布不一定是均匀分布

常考题型：在矩形区域、圆形区域等特殊区域上的均匀分布计算

5.2 二维正态分布（最重要的多维分布）

定义

若二维随机变量的联合概率密度为：
$$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left{-\frac{1}{2(1-\rho^{2)}\left[\frac{(x-\mu_1)}2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_22}\right]\right}$$
其中是常数，则称服从参数为的二维正态分布，记为。

参数意义

• ：分别是和的数学期望

• ：分别是和的方差

• ：和的相关系数

重要性质（高频考点）

1. 边缘分布：，

2. 独立性：和相互独立的充要条件是

3. 条件分布：在给定条件下，服从正态分布$N\left(\mu_1 + \rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2), \sigma_1^2(1-\rho2)\right)$

4. 线性变换不变性：若服从二维正态分布，则对任意常数，和也服从二维正态分布

5. 线性组合正态性：若服从二维正态分布，则服从一维正态分布$N(a\mu_1 + b\mu_2, a^2\sigma_12 + b^2\sigma_22 + 2ab\rho\sigma_1\sigma_2)$

常考题型：

1. 二维正态分布的概率计算

2. 利用独立性条件（）求解问题

3. 条件分布的应用

4. 线性组合的分布计算

六、两个随机变量函数的分布

6.1 离散型情况

设是二维离散型随机变量，联合分布律为，，则的分布律为：

6.2 连续型情况

设是二维连续型随机变量，联合概率密度为，，则的分布函数为：

的概率密度为：

6.3 常用函数分布（重点掌握）

和的分布（卷积公式）

设，则：

若和相互独立，则：

重要特例：

• 正态分布的可加性：若，且独立，则

• 泊松分布的可加性：若，且独立，则

• 二项分布的可加性：若，且独立，则

商的分布

设，则：

若和相互独立，则：

最大值和最小值分布（高频考点）

设，，和相互独立：

推广到n个变量：若相互独立，，，则：

6.4 变换法（雅可比行列式法）

对于一一对应的变换，联合概率密度为：

其中是雅可比行列式：

常考题型：

1. 求两个随机变量和的分布

2. 求最大值、最小值的分布

3. 利用变换法求复杂函数的分布

七、重要公式总结

7.1 分布函数相关

• 联合分布函数：

• 边缘分布函数：，

• 矩形概率：

7.2 概率密度相关

• 联合概率密度：

• 边缘概率密度：，

• 条件概率密度：，

7.3 独立性条件

• 分布函数：

• 离散型：

• 连续型：

7.4 常用分布

• 二维均匀分布：

• 二维正态分布：$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left{-\frac{1}{2(1-\rho^{2)}\left[\frac{(x-\mu_1)}2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_22}\right]\right}$

7.5 函数分布

• 和的分布：

• 最大值分布：

• 最小值分布：

八、典型例题分析

例题1：联合分布律与边缘分布律（基础题型）

设二维离散型随机变量的联合分布律为：

Y\X	0	1	2
0	0.1	0.2	0.1
1	0.2	0.3	0.1

求：(1) 和的边缘分布律；(2) 判断和是否独立。

解答：
(1) 边缘分布律：

(2) 独立性判断：
，
由于，故和不独立。

例题2：二维正态分布的性质（重要考点）

设，求：(1) 和的边缘分布；(2) ；(3) 在条件下的条件分布。

解答：
(1) 边缘分布：

(2)

(3) 条件分布：


故

例题3：两个随机变量函数的分布（高频考点）

设和相互独立，且都服从分布，求的概率密度。

解答：
使用分布函数法：

当时，

当时，转换到极坐标：
$$F_Z(z) = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{z}} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{r2}{2}} r , dr , d\theta = 1 - e^{-\frac{z}{2}}$$

因此，的概率密度为：

即分布（自由度为2的卡方分布）

例题4：最大值最小值分布（常考题型）

设相互独立，且都服从分布，求和的概率密度。

解答：
对于：

对于：