微积分中“连续”的核心考点

函数在某一点（或某区间）连续的首要条件是：函数在该点（或区间内所有点）有定义（即自变量代入后，能算出确定的函数值）连续的本质是==“函数值与极限值相等”==，连 “函数值” 都不存在，何谈相等？

一、连续的定义（三种形式）

若( \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) )，则称( f(x) )在( x_0 )处连续。

若( f(x) )在( x_0 )处不连续，则( x_0 )为间断点，分为以下两类：

类型	定义（左、右极限是否存在）	子类型	示例
第一类间断点	左、右极限均存在	可去间断点	( f(x) = \frac{\sin x}{x} )（( x=0 )处，补充定义( f(0)=1 )可连续）
		跳跃间断点	( f(x) = \text{sgn}x )（符号函数，( x=0 )处左极限(-1)、右极限(1)）
第二类间断点	左、右极限至少一个不存在	无穷间断点	( f(x) = \frac{1}{x} )（( x=0 )处，极限为( \infty )）
		振荡间断点	( f(x) = \sin\frac{1}{x} )（( x=0 )处，极限振荡不存在）

若( f(x) )在( [a,b] )上连续，则( f(x) )在( [a,b] )上有界（存在( M>0 )，使得( |f(x)| \leq M )对所有( x \in [a,b] )成立）。

若( f(x) )在( [a,b] )上连续，则( f(x) )在( [a,b] )上必有最大值和最小值（存在( x_1, x_2 \in [a,b] )，使得( f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2) )对所有( x \in [a,b] )成立）。

若( f(x) )在( [a,b] )上连续，且( f(a) \neq f(b) )，则对任意介于( f(a) )和( f(b) )之间的数( C )，至少存在一点( \xi \in (a,b) ) 使得( f(\xi) = C )。

若( f(x) )在( [a,b] )上连续，且( f(a) \cdot f(b) < 0 )，则至少存在一点( \xi \in (a,b) ) 使得( f(\xi) = 0 )（常用于证明方程有根）。

验证( \lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) )，或左、右连续且相等。

初等函数在其定义域内的区间上都是连续的（如多项式、三角函数、指数对数函数等的组合）。

若( u = g(x) )在( x_0 )处连续，( y = f(u) )在( u_0 = g(x_0) )处连续，则复合函数( y = f(g(x)) )在( x_0 )处连续。

若( f(x) )和( g(x) )在( x_0 )处连续，则( f(x) \pm g(x) )、( f(x) \cdot g(x) )、( \frac{f(x)}{g(x)} )（( g(x_0) \neq 0 )）在( x_0 )处也连续。

对分段函数的分段点，需分别验证左连续和右连续：

例：判断( f(x) = )在( x=0 )处的连续性左极限：( \lim\limits_{x \to 0^-} x^2 = 0 )，右极限：( \lim\limits_{x \to 0^+} \sin x = 0 )，且( f(0) = 0^2 = 0 )，故在( x=0 )处连续。

考法：已知分段函数在分段点连续，求参数值。
示例：若( f(x) = )在( x=0 )处连续，则( \lim\limits_{x \to 0^-} (ax + b) = b = \lim\limits_{x \to 0^+} e^x = 1 )，且左连续( b = f(0) = 1 )，同时右连续( e^0 = 1 = f(0) )，故( b=1 )，( a )任意（若可导还需额外条件）。