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U=X+Y连续性,离散型分类整合

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多维随机变量的函数的分布：题型、题目、解法与原理整合

一、核心概念回顾

若随机变量( U )由多维随机变量( (X, Y) )通过函数关系( U = g(X, Y) )确定，则( U )为( X, Y )的函数。解题的核心是根据( (X, Y) )的类型（离散/连续），结合概率基本性质（可加性、积分意义）推导( U )的分布（分布律/概率密度）。

二、分类型整合：题型+题目+解法+原理

类型1：（离散型，离散型）→ 离散型

题目示例

设二维离散型随机变量( (X, Y) )的联合分布律如下，求( U = X + Y )的分布律。

( X \setminus Y ) 0 1
0 0.2 0.3
1 0.1 0.4

解法步骤

  1. 确定( U )的所有可能取值：
    由( X \in {0,1} )、( Y \in {0,1} )，得( U = X + Y )的可能取值为( 0, 1, 2 )。

  2. 对每个( U )值，累加对应联合概率：

    • 当( U = 0 )时，仅( (X=0, Y=0) )满足，故( P(U=0) = P(X=0,Y=0) = 0.2 )；
    • 当( U = 1 )时，( (X=0,Y=1) )或( (X=1,Y=0) )满足，故( P(U=1) = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=0) = 0.3 + 0.1 = 0.4 )；
    • 当( U = 2 )时，仅( (X=1, Y=1) )满足，故( P(U=2) = P(X=1,Y=1) = 0.4 )。

  3. 整理( U )的分布律：

( U ) 0 1 2
( P ) 0.2 0.4 0.4

原理说明

离散型随机变量的分布律由“所有可能取值的概率集合”定义，而( (X, Y) )的联合分布律已明确所有( (x_i, y_j) )的概率。由于( { (X=x_i,Y=y_j) \mid g(x_i,y_j)=u_k } )是互斥事件组（同一时刻( (X,Y) )只能取一组值），根据“互斥事件的概率和等于事件和的概率”，直接累加对应联合概率即可得到( U )的概率。

类型2：（连续型，连续型）→ 离散型

题目示例

设( (X, Y) )服从区域( D: 0 < x < 1, 0 < y < 1 )上的均匀分布（联合密度( f(x,y) = 其他 )），定义( U = )，求( U )的分布律。

解法步骤

  1. 确定( U )的离散取值：( U \in {0, 1} )。

  2. 计算每个( U )值的概率（积分求区域概率）：

    • 当( U = 1 )时，对应区域( D_1: 0 < x < 1, x < y < 1 )，概率为：
      [ P(U=1) = \iint_{D_1} f(x,y)dxdy = \int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1} 1 dy = \int_{0}^{1} (1 - x)dx = 0.5 ]
    • 当( U = 0 )时，对应区域( D_0: 0 < x < 1, 0 < y \leq x )，概率为：
      [ P(U=0) = \iint_{D_0} f(x,y)dxdy = \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} 1 dy = \int_{0}^{1} x dx = 0.5 ]

  3. 整理( U )的分布律：

( U ) 0 1
( P ) 0.5 0.5

原理说明

连续型随机变量的核心性质是“概率等于联合密度在对应区域上的积分”（即( P((X,Y) \in D) = \iint_D f(x,y)dxdy )）。本题中( U )的每个离散值对应平面上的一个具体区域（( X < Y )或( X \geq Y )），通过计算该区域上的二重积分，即可得到( U )取该值的概率，本质是“区域面积→概率”（均匀分布下密度为1，积分结果即区域面积）。

类型3：（连续型，连续型）→ 连续型

子类型3.1：分布函数法（通用解法）

题目示例

设( X, Y )独立且均服从( [0,1] )上的均匀分布（( f_X(x) = 其他 )，( f_Y(y) )同理），求( U = X + Y )的概率密度。

解法步骤

  1. 求( U )的分布函数( F_U(u) = P(U \leq u) = P(X + Y \leq u) )：
    需分情况讨论( u )的范围（根据( X, Y )的取值区间( [0,1] )，( U = X + Y )的可能范围是( [0, 2] )）：

    • 当( u < 0 )时：( X + Y \leq u )不可能发生，故( F_U(u) = 0 )；
    • 当( 0 \leq u \leq 1 )时：对应区域是直角三角形（( 0 \leq x \leq u, 0 \leq y \leq u - x )），积分得：
      [ F_U(u) = \int_{0}^{u} dx \int_{0}^{u - x} 1 \cdot 1 dy = \int_{0}^{u} (u - x)dx = \frac{1}{2}u^2 ]
    • 当( 1 < u \leq 2 )时：对应区域是正方形( [0,1] \times [0,1] )减去右上角直角三角形（( u - 1 \leq x \leq 1, u - x \leq y \leq 1 )），积分得：
      [ F_U(u) = 1 - \int_{u - 1}^{1} dx \int_{u - x}^{1} 1 dy = 1 - \frac{1}{2}(2 - u)^2 ]
    • 当( u > 2 )时：( X + Y \leq u )必然发生，故( F_U(u) = 1 )。

  2. 对( F_U(u) )求导得概率密度( f_U(u) = F_U’(u) )：

    • 当( 0 \leq u \leq 1 )时：( f_U(u) = \left( \frac{1}{2}u^2 \right)’ = u )；
    • 当( 1 < u \leq 2 )时：( f_U(u) = \left( 1 - \frac{1}{2}(2 - u)^2 \right)’ = 2 - u )；
    • 其他情况：( f_U(u) = 0 )。

  3. 最终密度函数：
    [ f_U(u) = 其他 ]

原理说明

连续型随机变量的概率密度是分布函数的导数（( f_U(u) = F_U’(u) )），这是“分布函数→密度”的核心逻辑。分布函数( F_U(u) = P(U \leq u) )本质是“( (X,Y) )落在区域( g(x,y) \leq u )内的概率”，需通过二重积分计算；而求导的目的是将“累积概率”转化为“某点附近的概率密度”，符合密度函数的定义（( P(u < U \leq u + \Delta u) \approx f_U(u)\Delta u )）。

子类型3.2：卷积公式（仅适用于( U = X + Y )且( X, Y )独立）

题目示例

沿用子类型3.1的题目（( X, Y )独立且均服从( [0,1] )均匀分布），用卷积公式求( U = X + Y )的密度。

解法步骤

  1. 明确卷积公式：
    若( X, Y )独立，( U = X + Y )的密度为：
    [ f_U(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(u - x) dx ]

  2. 确定积分区间（仅当( f_X(x) > 0 )且( f_Y(u - x) > 0 )时，被积函数非零）：

    • ( f_X(x) > 0 )的条件：( 0 \leq x \leq 1 )；
    • ( f_Y(u - x) > 0 )的条件：( 0 \leq u - x \leq 1 )，即( u - 1 \leq x \leq u )；
    • 联立得有效积分区间：( x \in [\max(0, u - 1), \min(1, u)] )。

  3. 分情况计算积分：

    • 当( 0 \leq u \leq 1 )时：( \max(0, u - 1) = 0 )，( \min(1, u) = u )，积分得：
      [ f_U(u) = \int_{0}^{u} 1 \cdot 1 dx = u ]
    • 当( 1 < u \leq 2 )时：( \max(0, u - 1) = u - 1 )，( \min(1, u) = 1 )，积分得：
      [ f_U(u) = \int_{u - 1}^{1} 1 \cdot 1 dx = 2 - u ]
    • 其他情况：积分区间为空，( f_U(u) = 0 )。

  4. 结果与子类型3.1一致：
    [ f_U(u) = 其他 ]

原理说明

卷积公式的本质是“分布函数法的简化推导”：

  1. 因( X, Y )独立，联合密度( f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) )，代入分布函数得( F_U(u) = \iint_{x + y \leq u} f_X(x)f_Y(y) dxdy )；

  2. 交换积分顺序（先对( y )积分，再对( x )积分），令( y = u - x )，则积分限转化为( x )的范围；

  3. 对( F_U(u) )求导时，积分号与导数可交换，最终得到单积分形式的“卷积”，避免了分情况画区域的复杂步骤，是独立变量和的专用解法。

类型4：（离散型，连续型）→ 连续型

题目示例

设离散型随机变量( X )的分布律为( P(X=0) = 0.5 )，( P(X=1) = 0.5 )；连续型随机变量( Y )服从( [0,2] )上的均匀分布（密度( f_Y(y) = 其他 )），且( X, Y )独立，求( U = X + Y )的概率密度。

解法步骤

  1. 利用全概率公式拆分概率：
    因( {X=0}, {X=1} )是互斥且覆盖样本空间的事件组，对任意( u )，有：
    [ P(U \leq u) = P(X=0)P(U \leq u \mid X=0) + P(X=1)P(U \leq u \mid X=1) ]

  2. 转化为( Y )的概率（利用独立性）：

    • 当( X=0 )时，( U = 0 + Y = Y )，故( P(U \leq u \mid X=0) = P(Y \leq u) = F_Y(u) )（( F_Y )是( Y )的分布函数）；
    • 当( X=1 )时，( U = 1 + Y )，故( P(U \leq u \mid X=1) = P(Y \leq u - 1) = F_Y(u - 1) )。

  3. 求( U )的分布函数：
    [ F_U(u) = 0.5F_Y(u) + 0.5F_Y(u - 1) ]

  4. 求导得( U )的密度（利用( f_Y(u) = F_Y’(u) )）：
    [ f_U(u) = 0.5f_Y(u) + 0.5f_Y(u - 1) ]

  5. 代入( f_Y )的表达式，分情况整理：

    • 当( 0 \leq u < 1 )时：( f_Y(u) = \frac{1}{2} )，( f_Y(u - 1) = 0 )，故( f_U(u) = 0.5 \times \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{4} )；
    • 当( 1 \leq u < 2 )时：( f_Y(u) = \frac{1}{2} )，( f_Y(u - 1) = \frac{1}{2} )，故( f_U(u) = 0.5 \times \frac{1}{2} + 0.5 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} )；
    • 当( 2 \leq u \leq 3 )时：( f_Y(u) = 0 )，( f_Y(u - 1) = \frac{1}{2} )，故( f_U(u) = 0 + 0.5 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} )；
    • 其他情况：( f_U(u) = 0 )。

  6. 最终密度函数：
    [ f_U(u) = 其他 ]

原理说明

核心是全概率公式的应用：离散型变量( X )的取值( {x_i} )将样本空间划分为互斥的子空间，( U )的概率可分解为“在每个子空间下的条件概率×子空间概率”的和。

  • 对每个( X = x_i )，( U = g(x_i, Y) )是“连续型变量( Y )的函数”，其分布函数可直接转化为( Y )的分布函数（如( U = 1 + Y )对应( Y = U - 1 )）；

  • 对分布函数求导时，利用“导数的线性性质”（( (aF_1 + bF_2)’ = aF_1’ + bF_2’ )），将每个条件下的密度加权求和，最终得到( U )的密度。

三、总结：解题逻辑链

  1. 判断类型：先确定( (X, Y) )的类型（离散/连续），明确( U = g(X,Y) )的目标类型（分布律/密度）；

  2. 选解法：

    • 离散+离散：直接累加联合概率；
    • 连续+连续→离散：积分求区域概率；
    • 连续+连续→连续：通用用“分布函数法”，独立和用“卷积公式”；
    • 离散+连续：用“全概率公式”拆分，再求导；

  3. 验合理性：分布律概率和为1，密度积分（全定义域）为1。