高数错题

1. 已知是周期为5的连续函数，它在点的某个邻域内满足关系式
   ，且在点处可导，求曲线在点处的切线方程。

2. 设为偶函数，且存在，证明。

3. 在“充分非必要”“必要非充分”“充分必要”“无关”四者中选择一个正确的填入下列空格内。
   (1) 设函数在点处不可导，则在点处不可导是在点处不可导的______条件。
   (2) 设函数在点处不可导，则在点处不可导是在点处不可导的______条件。
   (3) 函数在点处的左导数$f’-(x_0)f’+(x_0)f(x)x_0$处可导的______条件。

4. 求由下列方程确定的隐函数 ( y = y(x) ) 的二阶导数.

   (1) ( y = 1 + x e^y ).

   (2) ( y = \tan(x + y) ).

5. ( f(x)= ) 求 ( f’'(0) ).

6. 设 (f(x)) 在 ([a,b]) 上连续（( a>0 )），在 ((a,b)) 内可导，且 ( f’(x) \neq 0 )，求证：存在 ( \xi, \eta \in (a,b) )，使得 ( f’(\xi) = \frac{a + b}{2\eta}f’(\eta) ).

7. 设 (f(x)) 在 ([0,+\infty)) 上的导数 ( f’(x) ) 单调增加，( f(0)=0 )，且当 ( x>0 ) 时，( f(x)>0 ).

   (1) 证明函数 ( g(x)=\frac{f(x)}{x} ) 在 ( (0,+\infty) ) 上单调增加.

   (2) 如果 ( \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}=1 )，证明函数 ( F(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{f(x)} ) 在 ( (0,+\infty) ) 上单调增加.

8. 用洛必达法则求下列极限.

(1) ( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{arccot x} ).

(2) ( \lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n} \right)^{\frac{1}{x}} )，其中 ( a_i \ (i=1,2,\cdots,n) ) 为正常数，( n \geq 2 ).

9. 设函数 (f(x)) 在点 (x_0) 处有连续的二阶导数，证明： [ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) + f(x_0 - h) - 2f(x_0)}{h^2} = f’'(x_0) ]

10. 求函数 ( f(x) = \frac{1}{x} ) 按 ( (x+1) ) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 ( n ) 阶泰勒公式.

11. 已知 ( 0 < |q| < 1 )，证明：( \lim\limits_{n \to \infty} |q|^{\frac{1}{n}} = 1 ).

12. 证明：数列 ( x_n = \sin n ) 发散.

13. 说明函数 ( f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1 - x^{2n}}{1 + x^{2n}} \cdot x ) 的连续性，如有间断点，说明间断点的类型.

14. 设 ( 0 < x_1 < 1 )，( x_n = \int_0^1 \max(x_{n-1}, t) , dt )，( n = 1,2,\cdots )，证明 ( {x_n} ) 收敛并求极限.

15. 设函数 (f(x)) 在 ([0,1]) 上连续，且 ( f(0) = f(1) )，证明：

    (1) 存在 ( \eta \in [0,1] )，使得 ( f(\eta) = f\left(\eta + \frac{1}{2}\right) ).

    (2) 对任何正整数 ( n \geq 2 )，存在 ( \eta \in [0,1] )，使得 ( f(\eta) = f\left(\eta + \frac{1}{n}\right) ).

16. 设函数 (f(x)) 在 ((a,b)) 内二阶可导，且 ( f’'(x) > 0 ). 证明：对于 ((a,b)) 内任意两点 ( x_1, x_2 )，恒有 ( \frac{1}{2}\left[f(x_1) + f(x_2)\right] > f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) ).

17. 设 (f(x)) 在 ([a,b]) 上有连续的二阶导数，满足 ( f’(a) = f’(b) = 0 )，证明：在 ((a,b)) 内至少存在一点 ( \xi )，使得 [ |f’'(\xi)| \geq \frac{4}{(b-a)^2} |f(b) - f(a)| ]

18. 设 (f(x)) 在 ([0,1]) 上具有连续的二阶导数，且 ( |f(x)| \leq a )，( |f’'(x)| \leq b )，( c ) 是区间 ( (0,1) ) 内任意一点，证明：( |f’©| \leq 2a + \frac{b}{2} ).

19. 设 ( a > 0, b > 0, 0 < c < 1 )，证明：( (a + b)^c \geq 2^{c-1}(ac + b^c) ).

20. 判定下列反常积分的敛散性，若收敛，进一步判断绝对收敛或条件收敛

    5. $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x^2}{1+x}dxt=x2$）

    6. 讨论参数的取值范围，使$\displaystyle\int_{1}^{{+\infty}\frac{1}{x}p}dx$收敛；

    7. 讨论参数的取值范围，使$\displaystyle\int_{0}^{{1}\frac{1}{x}p}dx$收敛；

    8. 讨论参数的取值范围，使收敛；

    9. 讨论参数的取值范围，使$\displaystyle\int_{0}^{{+\infty}\frac{x}{q-1}}{1+x^p}dx$收敛。

21. 曲线 ( (t \neq -1) ) 的斜渐近线方程为（ ）

    (A) ( y = x + 1 ) (B) ( y = x - 1 ) © ( y = -x + 1 ) (D) ( y = -x - 1 )

22. 求极限 ( \lim\limits_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} \sin x - e^{x\cos x} x\cos x}{x^3} ).

23. 证明：当 ( 0 < x < 1 ) 时，( \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} < \frac{\ln(1 + x)}{\arcsin x} ).

24. 设 (f(x)) 为 ( (-\infty, +\infty) ) 内连续的偶函数，( F’(x) = f(x) )，则原函数 ( F(x) )（ ）.
    (A) 均为奇函数
    (B) 均为偶函数
    © 只有一个是奇函数
    (D) 既非奇函数也非偶函数

25. 验证函数的一个原函数，并回答：若 ( F(x) ) 在区间 ( I ) 上可导，则 ( F’(x) ) 一定连续吗？

26. 计算 ( \int \frac{1}{x^8(1 - x^2)} dx ).

27. $$\int x(2x^2-5)5 dx$$

30. $$\int \frac{2^x \cdot 3^x}{9x - 4^x} dx$$

34. 计算 ( \int \frac{x \cos^4 \frac{x}{2}}{\sin^3 x} dx ).

35. 求下列不定积分
    (1) ( \int \frac{x^3}{x + 3} dx ).
    (2) ( \int \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2(x - 1)} dx ).
    (3) ( \int \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + x + 1)} ).
    (4) ( \int \frac{dx}{3 + \sin^2 x} ).

36. 计算定积分 ( \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2 \sqrt{1 + x^2}} ).

37. 计算 ( \frac{d^2}{dx2} \int_{0}^{x} \left[ \int_{0}^{t2} e^{u2} du \right] dt ).

38. 求极限 ( \lim\limits_{x \to 0} \frac{\left( \int_{0}^{x} e^{t2} dt \right)^2}{\int_{0}{x^2} t e^{2t2} dt} ).

39. 计算定积分 ( \int_{\pi}^{-\pi} \frac{x \cdot \sin x \cdot \arctan e^{x}}{1 + \cos^2 x} dx ).

40. 设 ( f(u) ) 在 ( u = 0 ) 某邻域内连续，( \lim\limits_{u \to 0} \frac{f(u)}{u} = A )，求 ( \lim\limits_{x \to 0} \frac{d}{dx} \int_{0}^{1} f(xt) dt ).

41. 设 ( f(x) = \int_{1}^{x2} \frac{\sin t}{t} dt )，求 ( \int_{0}^{1} x f(x) dx ).

42. 设 (f(x)) 在 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上连续，在 ( (0, \frac{\pi}{2}) ) 内可导且导函数连续，( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \cos^2 x dx = 0 )。证明存在 ( \xi, \eta \in (0, \frac{\pi}{2}) )，使得 ( f’(\xi) = 2f(\xi)\tan \xi )，( f’(\eta) = f(\eta)\tan \eta )。

43. 求抛物线 ( y^2 = 2px ) 及其在点 ( (\frac{p}{2}, p) ) 处的法线所围成的图形面积。

44. 过坐标原点作曲线 ( y = \ln x ) 的切线，该切线与曲线 ( y = \ln x ) 及 ( x ) 轴围成平面图形 ( D )。

    (1) 求 ( D ) 的面积。

    (2) 求 ( D ) 绕直线 ( x = e ) 旋转一周所得旋转体的体积。

45. 以椭圆 ( \frac{x^2}{a2} + \frac{y^2}{b2} \leq 1 \ (a > b > 0) ) 为底的柱体，被一个通过短轴且与底面成 ( \alpha ) 角的平面所截，求截得部分的体积。

46. 设二阶导函数 ( f’'(x) ) 连续，且 ( f(0) = f(1) = 0 )，证明：

    (1) ( \int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x(x - 1)f’'(x)dx ).

    (2) 若 ( M = \max\limits_{0 \leq x \leq 1} |f’'(x)| )，则 ( \left| \int_{0}^{1} f(x)dx \right| \leq \frac{M}{12} ).

47. 写出直线 ( ) 的对称式方程以及参数方程。

48. 求过点 ( (0, 2, 4) ) 且与两平面 ( x + 2z = 1 ) 和 ( y - 3z = 2 ) 平行的直线方程。

49. 证明：过不在一直线上3点 ( (x_i, y_i, z_i) \ (i=1,2,3) ) 的平面方程为 [ = 0, ] 并写出过 ( (1,1,-1), (-2,-2,2), (1,-1,2) ) 这3点的平面方程。

50. 求直线 ( ) 在平面 ( 2x - y + 5z - 3 = 0 ) 上投影直线的方程。

51. 求点 ( (1,2,3) ) 关于平面 ( \Pi: x + y + 5z = 45 ) 的对称点的坐标。

52. 求过点 ( A(-1,0,4) )，平行于平面 ( \Pi: 3x - 4y + z = 10 ) 且与直线 ( l: x + 1 = y - 3 = \frac{z}{2} ) 相交的直线方程。

53. 设空间有5点 ( A(1,0,1), B(1,1,2), C(1,-1,-2), D(3,1,0), E(3,1,2) )，求过点 ( E )，与点 ( A、B、C ) 所在平面 ( \Pi ) 平行且与直线 ( AD ) 垂直的直线 ( l ) 的方程。

54. 判定二直线 ( L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+3}{2} ) 和 ( L_2: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{2} ) 是否为异面直线，若是，求其距离以及公垂线。

55. 求过点 ( M_1(2, -3, -1) )，与 ( x ) 轴的夹角为 ( \frac{\pi}{3} )，且与直线 ( \frac{x-7}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-5}{2} ) 相交的直线方程。

56. 设直线 ( l_1: \frac{x}{4} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} )，( l_2: )，( l_3: )，求平行于 ( l_1 ) 而分别与 ( l_2、l_3 ) 都相交的直线 ( l ) 的方程。

57. 试求平面上的曲线 ( r^2 = a^2\cos2\theta ) 绕极轴旋转而成的曲面方程。

58. 求与定直线 ( (m,n \neq 0) ) 平行且与曲线 ( ) 相交的动直线所产生的曲面方程。

59. 试求直线 ( L: \frac{x-1}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{2} ) 绕 ( z ) 轴旋转所得旋转曲面的方程。

60. 求极限 ( \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 |y|^{{\frac{3}{2}}}{x}4 + y^2} )。夹逼定理

61. 证明：( \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-x^2 y}{x^4 + y^2} ) 不存在。

62. 设 ( u = \int_{xz}^{yz} e^{t2} dt )，求其偏导数（或全微分）。

63. 设 ( f(x,y) = x + (y-1)\arcsin\sqrt{\frac{x}{y}} )，求 ( f_x(0,1) )。

64. 试问：是否存在一个函数 ( f(x,y) ) 使得 ( f_x(x,y) = x + 4y ) 且 ( f_y(x,y) = 3x - y )，为什么？

65. 判断下列函数在点((0,0))处是否连续，偏导数是否存在，是否可微：

    (1) ( z = f(x,y) = )

    (2) ( z = \sqrt{x^2 + y^2} )

    (3) ( z = f(x,y) = \begin{cases} (x^2 + y^{2)\sin\frac{1}{x}2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases} )

66. 求函数( u = f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}\right) )的一阶偏导数（其中( f )具有一阶连续偏导数）。

67. 设方程 ( \frac{x}{z} = \ln\frac{z}{y} ) 确定函数 ( z = z(x,y) )，求 ( \frac{\partial z}{\partial x} ) 及 ( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} )。

68. 求由方程组 ( ) 所确定的隐函数的导数 ( \frac{dy}{dx}、\frac{dz}{dx} )

69. 设 ( y = f(x,t) )，而 ( t ) 是由方程 ( F(x,y,t) = 0 ) 所确定的 ( x,y ) 的函数，其中 ( f,F ) 具有一阶连续偏导数，试证明：( \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial t} - \frac{\partial f}{\partial t}\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial t}} )。

70. （仅数学一）求曲线 ( ) 在点 ( (1,1,1) ) 处的切线以及法平面方程。

71. （仅数学一）求出曲线 ( x=t, y=t^2, z=t^3 ) 上的点，使得在该点处的切线平行于平面 ( x+2y+z=4 )。

72. （仅数学一）求曲面 ( e^z - z + xy = 3 ) 在点 ( (2,1,0) ) 处的切平面及法线方程。

73. （仅数学一）求椭球面 ( x^2 + 2y^2 + z^2 = 1 ) 上平行于平面 ( x - y + 2z = 0 ) 的切平面方程。

74. （仅数学一）设 ( f(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy + 3x - 2y - 6z )，求 ( \text{grad}f(0,0,0) ) 及 ( \text{grad}f(1,1,1) )。

75. （仅数学一）求函数 ( z = 1 - \left( \frac{x^2}{a2} + \frac{y^2}{b2} \right) ) 在点 ( \left( \frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}} \right) ) 处沿曲线 ( \frac{x^2}{a2} + \frac{y^2}{b2} = 1 ) 在该点处的内法线方向的方向导数。

76. 求函数 ( f(x,y) = 4(x - y) - x^2 - y^2 ) 的极值。

77. 设 ( f(x,y,z) ) 是可微函数，满足 ( xf_x + yf_y + zf_z \geq 2020\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} )，则 ( f(0,0,0) ) 是 ( f(x,y,z) ) 的（ ）。 （A）最小值 （B）最大值 （C）极大值，但不是最大值 （D）极小值，但不是最小值

78. 设 ( z = f(x,y) ) 满足 ( dz = 2x dx - 4y dy )，且 ( f(0,0) = 3 )，求 ( z = f(x,y) ) 在区域 ( D: \frac{x^2}{4} + y^2 \leq 1 ) 上的最值。

79. 设二元函数 ( f(x,y) ) 在点 ((0,0)) 处连续，且 ( \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{f(x,y)-xy}{x^2 + y^2} = 1 )，问 ((0,0)) 是否为函数 ( f(x,y) ) 的极值点（说明理由）？

80. 设函数 ( z = z(x,y) ) 由方程 ( (x^2 + y^2)z + \ln z + 2(x + y + 1) = 0 ) 确定，求 ( z = z(x,y) ) 的极值。

81. 计算 ( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq n^2} \left[ \sqrt{x^2 + y^2} \right] d\sigma )，其中 ( \left[ \sqrt{x^2 + y^2} \right] ) 是不大于 ( \sqrt{x^2 + y^2} ) 的最大整数，( n ) 是正整数。

82. 设 ( D = {(x,y) \mid -a \leq x \leq a, x \leq y \leq a} )，( D_1 = {(x,y) \mid 0 \leq x \leq a, x \leq y \leq a} )，则 ( \iint\limits_{D} (xy + \cos x \sin y) d\sigma = )（ ）

    （A）( 2 \iint\limits_{D_1} \cos x \sin y d\sigma ) （B）( 2 \iint\limits_{D_1} xy d\sigma ) （C）( 4 \iint\limits_{D_1} (xy + \cos x \sin y) d\sigma ) （D）0

83. 设 ( f(x,y) ) 在区域 ( D ) 上连续，( (x_0,y_0) ) 是 ( D ) 的一个内点，( D_r ) 是以 ( (x_0,y_0) ) 为中心、以 ( r ) 为半径的闭圆盘，试求极限 ( \lim\limits_{r \to 0^+} \frac{1}{\pi r^2} \iint\limits_{D_r} f(x,y) , dxdy )。

84. 利用二重积分的几何意义求下列二重积分：

    (1) ( \iint\limits_{D} \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} , d\sigma )，其中 ( D: x^2 + y^2 \leq a^2, y \geq 0 )；

    (2) ( \iint\limits_{D} \sqrt{x^2 + y^2} , d\sigma )，其中 ( D: x^2 + y^2 \leq a^2 )。

85. 计算累次积分 ( \int_{0}^{1} dx \int_{x^2}{x} (x^2 + y²⁾{-\frac{1}{2}} dy )。

86. 画出积分区域并化二重积分 ( I = \iint\limits_{D} f(x,y) d\sigma ) 为两种次序的累次积分

87. 交换二次积分 ( \int_{0}^{2} dx \int_{-\sin\frac{x}{2}}^{\sin x} f(x,y) dy ) 的积分次序

88. 已知 (f(x)) 在 ([0,1]) 上连续且 ( f(x) > 0 )，利用二重积分证明：( \int_{0}^{1} f(x)dx \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)}dx \geq 1 )

89. 计算二重积分 ( \iint\limits_{D} (x^3 + x^2 y) dxdy )，其中区域 ( D ) 是由双曲线 ( x^2 - y^2 = 1 )，直线 ( y=0, y=1 ) 围成的有界闭区域。

90. 计算(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}\frac{n}{(n + i)(n^{2}+j{2})})。

91. 计算二重积分(\iint\limits_{D}x^{2}e{-y^{2}}dxdy)，其中( D )是由直线(y = x)，(y = 1)以及(x = 0)所围成的区域。

92. 计算(\iint\limits_{D}xydxdy)，其中( D )是由曲线(y=\sqrt{1 - x^{2}})，(y=\sqrt{x - x^{2}})与直线(y = 0)所围成的区域。

93. 计算三重积分 ( \iiint\limits_{\varOmega} \frac{dV}{(1 + x + y + z)^3} )，其中 ( \varOmega ) 为平面 ( x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 ) 所围成的四面体。

94. 计算三重积分 ( \iiint\limits_{\varOmega} (x + z) dV )，其中 ( \varOmega ) 是由曲面 ( z = \sqrt{2 - x^2 - y^2} ) 及 ( z = x^2 + y^2 ) 所围成的闭区域。

95. 利用球坐标计算三重积分 ( \iiint\limits_{\varOmega} z dV )，其中 ( \varOmega ) 是由 ( x^2 + y^2 + (z - a)^2 \leq a^2 ) 以及 ( x^2 + y^2 \leq z^2 ) 所围成的空间区域。

96. 利用球坐标计算三重积分 ( \iiint\limits_{\varOmega} z dV )，其中 ( \varOmega ) 是由 ( x^2 + y^2 + (z - a)^2 \leq a^2 ) 以及 ( x^2 + y^2 \leq z^2 ) 所围成的空间区域。

97. 计算 $\oint_{L} \sqrt{x^{2}+y{2}},\mathrm{d}sLx^{2}+y{2}=2x$。

98. 计算 $\int_{L} (x^{2}+y{2})^{-\frac{3}{2}},\mathrm{d}sL\rho\theta = 1\theta\sqrt{3}2\sqrt{2}$ 的一段弧。

99. 设一段锥面螺线 (x = e^t \cos t,, y = e^t \sin t,, z = e^t\ (0 \le t \le 2\pi)) 上任一点处的线密度与该点向径的长度成反比，求其质量。

100. 求球面 ( x^2 + y^2 + z^2 = 1 ) 含在圆柱面 ( x^2 + y^2 = x ) 内部的那部分面积。

101. 计算曲线积分 ( \oint_{L} y^2 dx + z^2 dy + x^2 dz )，其中 (L) 是 ( x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \ (x \geq 0) ) 与 ( x^2 + y^2 = ax \ (a > 0) ) 的交线，从 ( x ) 轴正向看去取逆时针方向。

102. 计算 ( I = \oint_{L} \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2} )，其中 (L) 为：

     (1) 椭圆 ( \frac{(x-2)^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1 ) 所围区域的正向边界；

     (2) 椭圆 ( \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} = 1 ) 所围区域的正向边界。

103. 计算 ( \int_{L} [f’(y)e^{x} - 3y]dx + [f’(y)e^{x} - 3]dy )，其中 (L) 为连接点 ( A(2,3) )、( B(4,1) ) 的任意弧段 ( \overparen{AB} )（位于直线段 ( AB ) 的下方，无重点），且弧段 ( \overparen{AB} ) 与直线段 ( AB ) 围成的区域的面积为 5。

104. 设(\Sigma)为平面(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1)在第一卦限部分，则(\iint_{\Sigma} \left( z + 2x + \frac{4}{3}y \right) dS = \underline{\quad\quad})。

     (2) 设(\Sigma)为(x^2 + y^2 + z^2 = R^2)，则(\iint_{\Sigma} (x + y + z)^2 dS = \underline{\quad\quad})。

105. 计算(\iint_{\Sigma} (xy + yz + zx) dS)，其中(\Sigma)为锥面( z = \sqrt{x^2 + y^2} )被柱面(x^2 + y^2 = 2ax)所截得的有限部分。

106. 计算(\iint_{\Sigma} f(x,y,z) dS)，其中(\Sigma: x^2 + y^2 + z^2 = 2)， [ f(x,y,z) = ]

107. 计算(\iint_{\Sigma} (x^2 + y^2) dS)，其中(\Sigma)是由锥面( z = \sqrt{x^2 + y^2} )及平面(z = 1)围成区域的整个边界曲面。

108. 一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积( A )成正比（比例系数( k > 0 )）。融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为( r_0 )的雪堆在开始融化的3h内，融化了其体积的( \frac{7}{8} )，问雪堆全部融化需要多少时间？

109. 求下列微分方程的通解： (1) ( -xy’ = a(y^2 + y) )； (2) ( y \sin x = y \ln y )。

110. 求初值问题 [ ] 的解

111. 设( f )是可导函数，对于任意实数( p, t )，有( f(p + t) = f(p) + f(t) + 2pt )，且( f’(0) = 1 )，求( f )的表达式。

112. 求下列微分方程的通解： (1) ( y\ln y , dx + (x - \ln y) , dy = 0 )； (2) ( (y^2 - 6x) \frac{dy}{dx} + 2y = 0 )； (3) ( y’ = \frac{1}{x\cos y + \sin 2y} )。

113. 求方程 ( xdy - [y + xy^3(1 + \ln x)]dx = 0 ) 的通解。

114. 解方程 ( x^2 y’ + xy = y^2 )。

115. 求微分方程 ( \sin x \sin 2y dx - 2\cos x \cos 2y dy = 0 ) 的通解。

116. 解方程 ( x^2 y’’ = y’^2 + 2xy’ )。

117. 解方程 ( y’’ = (y’)^3 + y’ )。

118. 求微分方程的通解：

 (1) \( y'' + 2y' - y = e^{-3x} \)； 

 (2) \( y'' - 5y' + 4y = x^2 - 2x + 1 \)；

  (3) \( y'' - y = \sin^2 x \)。

119. 设( y_1 = x )，( y_2 = x + e^{2x} )，( y_3 = x(1 + e^{2x}) )是二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，试求该微分方程以及该方程的通解。

120. 求微分方程( y’’ + a^2 y = \sin x )（其中常数( a > 0 )）的通解。

121. 令( x = \sin t )，化简微分方程((1 - x^2)\frac{d2 y}{dx^2} - x\frac{dy}{dx} - y = e^{\arcsin x})，并求其通解。

122. 若级数(\sum_{n=1}^{\infty} a_n)与(\sum_{n=1}^{\infty} b_n)中有一个收敛，另一个发散，证明：(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n))必发散。

123. 如果两个级数均发散，则级数(\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n))是否必发散？说明理由。

124. 判别下列级数的收敛性： (1) (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot n!}{n^n})； (2) (\sum_{n=1}^{\infty} n\tan \frac{\pi}{2^{n+1}})。

125. 判别下列级数的收敛性： (1) (\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{3n-1} \right)^{2n-1})； (2) (\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{b}{a_n} \right)^n)，其中( a_n \to a \ (n \to \infty) )，( a_n, a, b )均为正数。

126. 判别下列交错级数的收敛性：

     (1) (\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cos \frac{1}{n})； (2) (\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln n}{n})； (3) (\frac{1}{\sqrt{2}-1} - \frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}+1} + \dots)

127. 设(\sum_{n=1}^{\infty} a_n)为收敛的正项级数，证明：(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(n\tan\frac{1}{n}\right) a_n)绝对收敛。

128. 已知级数(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sqrt{n} \sin\frac{1}{n^{{\alpha}})绝对收敛，级数(\sum_{n=1}}{\infty} \frac{(-1)^n}{n{2-\alpha}})条件收敛，则（）。

     (A) (0 < \alpha \leq \frac{1}{2}) (B) (\frac{1}{2} < \alpha \leq 1) © (1 < \alpha \leq \frac{3}{2}) (D) (\frac{3}{2} < \alpha < 2)

129. 若幂级数(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-1)^n)在(x = -1)处收敛，则此级数在(x = 2)处（）。

 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定  

130. 设幂级数(\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^{n)的收敛半径为(R)，试问(\sum_{n=0}}{\infty} a_nx^{kn+m})的收敛半径为多少，其中(k,m)都是正整数。

131. 求幂级数(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + (-2)^n}{n} x^n)的收敛域。

132. 求级数(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2ⁿ⁽ⁿ2 - 1)})的和。

133. 将下列函数展开成( x )的幂级数，并求出展开式成立的区间： (1) (f(x) = (1+x)\ln(2+x)). (2) (f(x) = \sin^2 x). (3) (f(x) = \arctan \frac{2x-1}{1+4x}).

134. 将( f(x) = \frac{1}{x^2 + 4x + 3} )展开成((x - 1))的幂级数。

135. 求级数(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(4n+1)2^{4n+1}})的和。

136. 将函数( f(x) = \arctan \frac{1-2x}{1+2x} )展开成( x )的幂级数，并求级数( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} )的和。

137. 求和：(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!})（定义域：( (-\infty, +\infty) )）。

138. 求极限：(\lim\limits_{x \to 0^+}\left( \frac{x}{(e^x - 1)\cos\sqrt{x}} \right)^{\frac{1}{(1+\sin x²⁾{1/x} - 1}})， (A) (e^{\frac{1}{2}}) (B) (e^{-\frac{1}{2}}) © (e) (D) (1)