定积分的几何与物理应用

定积分的应用

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第一部分 定积分应用核心思想：微元法（通用）

1. 微元法原理

若所求量 (U) 对区间 ([a,b]) 具有可加性，且局部微元 (dU = f(x)dx)（一阶无穷小，近似代替局部增量），则：
[
U = \int_a^b dU = \int_a^b f(x)dx
]

2. 微元法通用步骤

1. 建立坐标系，确定积分变量 (x) 与区间 ([a,b])；

2. 取微小区间 ([x, x+dx])，写出微元 (dU)（以直代曲、以恒代变）；

3. 确定上下限（从小到大，面积/体积/弧长/压力必满足），积分计算。

3. 核心性质

• 微元必须是 (dx) 的一阶无穷小，高阶无穷小可忽略；

• 所有几何、物理量均满足区间可加性（分段区间积分可相加）；

• 几何量（面积、体积、弧长）恒非负，积分结果必为正。

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第二部分 几何应用（数一全考，高频核心）

一、平面图形的面积

（一）直角坐标系下面积

1. 核心公式

• 上下曲线型（(x) 为积分变量）：由 (y=f_{\text{上}}(x))、(y=f_{\text{下}}(x))、(x=a)、(x=b) 围成：
  [
  S = \int_a^b \left[f_{\text{上}}(x)-f_{\text{下}}(x)\right]dx
  ]

• 左右曲线型（(y) 为积分变量，反函数复杂时优先用）：由 (x=\varphi_{\text{右}}(y))、(x=\varphi_{\text{左}}(y))、(y=c)、(y=d) 围成：
  [
  S = \int_c^d \left[\varphi_{\text{右}}(y)-\varphi_{\text{左}}(y)\right]dy
  ]

2. 重要性质

• 面积非负，被积函数必为正；

• 对称图形可算一半再翻倍（奇偶性、轴对称简化计算）；

• 交点为积分上下限，需先联立方程求交点。

3. 典型例题

例题1 求由 (y=x^2) 与 (y=2x-x^2) 围成的平面图形面积。
解：

1. 求交点：联立 (x^2=2x-x2 \Rightarrow x=0,x=1)；

2. 判上下曲线：(x\in(0,1)) 时，(2x-x^2 > x^2)；

3. 积分计算：
   [
   S = \int_0^1 \left[(2x-x^2)-x2\right]dx = \int_0^1 (2x-2x^2)dx
   ]
   [
   = \left.x^{2-\frac{2}{3}x}3\right|_0^1 = 1-\frac{2}{3} = \frac{1}{3}
   ]

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（二）极坐标系下面积（数一高频：心形线、双纽线、圆）

1. 核心公式

曲线 (r=r(\theta))，(\theta\in[\alpha,\beta])，扇形微元 (dS=\frac{1}{2}r^2(\theta)d\theta)：
[
S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta
]

2. 重要性质

• 极坐标面积必须带系数 (\frac{1}{2})（易错点）；

• 闭合曲线常取 (\theta\in[0,2\pi])，对称图形取半区间翻倍。

3. 典型例题

例题2 求心形线 (r=a(1+\cos\theta))（(a>0)）围成的面积。
解：

1. 对称性：关于极轴对称，算 (\theta\in[0,\pi]) 再×2；

2. 微元与积分：
   [
   S = 2\cdot\frac{1}{2}\int_0^\pi a^{2(1+\cos\theta)}2d\theta = a^2\int_0\pi (1+2\cos\theta+\cos^2\theta)d\theta
   ]

3. 三角恒等变换 (\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2})：
   [
   S = a^2\cdot\frac{3\pi}{2} = \frac{3}{2}\pi a^2
   ]

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（三）参数方程下面积

1. 核心公式

()，(t\in[\alpha,\beta])，(x(t)) 单调：
[
S = \int_\alpha^\beta y(t)\cdot x’(t)dt
]

2. 性质

• 上下限由 (x) 范围对应 (t) 范围，保证 (x(t)) 单调；

• 结果必为正，符号由 (x’(t)) 决定，负则取绝对值。

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二、旋转体体积（考研最高频）

（一）绕坐标轴旋转体积

1. 核心公式

• 绕 (x) 轴旋转（圆盘法）：(y=f(x),x\in[a,b])
  [
  V_x = \pi\int_a^b f^2(x)dx
  ]

• 绕 (y) 轴旋转（壳层法，优先用，避免反函数）：
  [
  V_y = 2\pi\int_a^b x\cdot |f(x)|dx
  ]

2. 重要性质

• 旋转体体积非负，被积函数为平方/绝对值，恒正；

• 壳层法本质：圆柱侧面积×厚度 (dS=2\pi x\cdot |f(x)|dx)；

• 绕平行线旋转：平移坐标系（如绕 (x=k)，令 (t=x-k)）再套公式。

3. 典型例题

例题3 求 (y=x^2,x\in[0,1]) 绕 (y) 轴旋转的体积。
解：选壳层法（更简便）：
[
V_y = 2\pi\int_0^1 x\cdot x^2 dx = 2\pi\int_0^1 x^3 dx
]
[
= 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}
]

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（二）平行截面面积已知的立体体积（数一专属）

1. 核心公式

垂直于 (x) 轴的截面面积为 (A(x))，(x\in[a,b])：
[
V = \int_a^b A(x)dx
]

2. 适用场景

非旋转体（楔体、椭球、底面为平面图形的柱体拉伸体）。

3. 典型例题

例题4 底面为 (x^2+y2\leq a^2)，垂直于 (x) 轴的截面为等边三角形，求体积。
解：

1. 截面边长：(y=2\sqrt{a^2-x2})；

2. 截面面积 (A(x)=\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{a^2-x2})^2=\sqrt{3}(a2-x^2))；

3. 对称积分：
   [
   V = 2\int_0^a \sqrt{3}(a^2-x2)dx
   ]
   [
   = \frac{4\sqrt{3}}{3}a^3
   ]

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三、平面曲线的弧长（数一、数二专属，数三不考）

1. 统一核心：弧微分 (ds)

[
s = \int ds
]

2. 三种形式公式

• 直角坐标 (y=y(x),x\in[a,b])：
  [
  ds = \sqrt{1+[y’(x)]^2}dx,\quad s=\int_a^b \sqrt{1+y’^2}dx
  ]

• 参数方程 (,t\in[\alpha,\beta])：
  [
  ds = \sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]2}dt,\quad s=\int_\alpha^\beta \sqrt{x’^2+y’2}dt
  ]

• 极坐标 (r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta])：
  [
  ds = \sqrt{r^{2(\theta)+[r’(\theta)]}2}d\theta,\quad s=\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2+r’2}d\theta
  ]

3. 重要性质

• 弧长恒正，积分上下限必从小到大；

• 弧微分是曲线固有量，与坐标系选择无关；

• 必含根号，常考三角换元/根式化简。

4. 典型例题

例题5 求摆线 () 一拱（(t\in[0,2\pi])）的弧长。
解：

1. 求导：(x’=a(1-\cos t),y’=a\sin t)；

2. 弧微分：
   [
   ds = \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a2\sin^2t}dt = a\sqrt{2-2\cos t}dt = 2a\sin\frac{t}{2}dt
   ]

3. 积分：
   [
   s = \int_0^{2\pi}2a\sin\frac{t}{2}dt
   ]
   [
   = 8a
   ]

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四、旋转曲面的侧面积（数一专属，必考易错）

1. 核心公式

曲线 (y=f(x)\ge0,x\in[a,b]) 绕 (x) 轴旋转：微元 (dS=2\pi y\cdot ds)（必须用弧微分 (ds)，不能用 (dx)）
[
S = 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f’(x)]^2}dx
]

2. 关键性质

• 侧面积 ≠ 体积：体积用 (dx)，侧面积必用 (ds)；

• 仅算侧面，不含底面/顶面；

• 结果恒正，被积函数非负。

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第三部分 物理应用（数一核心，数三不考）

均用微元法，核心：先写微元，再积分，注意矢量分解（引力）。

一、变力沿直线做功

1. 核心公式

力 (F=F(x)) 沿 (x) 轴从 (a\to b)，微元功 (dW=F(x)dx)：
[
W = \int_a^b F(x)dx
]

2. 常见模型

• 弹簧弹力：(F=kx)（胡克定律）；

• 抽水做功：微元水体重量×提升高度；

• 电场/引力做功：变力积分。

3. 典型例题

例题6 弹簧原长1m，拉长0.05m需力10N，求拉长0.2m做的功。
解：

1. 求 (k)：(F=kx\Rightarrow10=k\cdot0.05\Rightarrow k=200\ \text{N/m})；

2. 微元功 (dW=200x dx)；

3. 积分：
   [
   W = \int_0^{0.2}200x dx
   ]
   [
   = 4\ \text{J}
   ]

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二、液体静压力（水压力，数一必考）

1. 核心原理

• 压强：(p=\rho g h)（(h) 为深度，向下为正）；

• 微元压力：(dP=p\cdot dS=\rho g h\cdot dS)；

• 总压力：(P=\int\rho g h\cdot dS)。

2. 解题步骤

1. 建系：深度 (h) 为积分变量；

2. 求深度 (h) 处水平宽度 (L(h))；

3. 微元 (dP=\rho g h L(h)dh)，积分。

3. 典型例题

例题7 矩形闸门宽2m，高3m，水面与顶齐平，求水压力（(\rho=10^{3 \text{kg/m}}3,g=9.8\ \text{m/s}^2)）。
解：

1. 深度 (h\in[0,3])，宽度 (L(h)=2)；

2. 微元 (dP=\rho g h\cdot 2 dh)；

3. 积分：
   [
   P = 2\rho g\int_0^3 h dh
   ]
   [
   = 88200\ \text{N}
   ]

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三、引力（细杆与质点，数一专属）

1. 核心原理

• 万有引力：(dF=G\frac{m\cdot dm}{r^2})（(G) 引力常数，(m) 质点质量，(dm) 细杆微元质量）；

• 引力是矢量，必须分解为 (x/y) 分量分别积分，不可直接标量积分。

2. 解题步骤

1. 设细杆线密度 (\rho)，微元 (dm=\rho dx)；

2. 写微元引力 (dF)，分解 (dF_x,dF_y)；

3. 分别积分得分量，再求合力（考研常考某分量为0，简化计算）。

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四、平面薄片的形心（重心，均匀密度）

1. 核心公式

设薄片由 (y=f_{\text{上}}(x),y=f_{\text{下}}(x),x\in[a,b]) 围成，面积 (S)：

• 静矩：(S_y=\int_a^b x\left[f_{\text{上}}-f_{\text{下}}\right]dx,\ S_x=\frac{1}{2}\int_a^b \left[f_{\text{上}}^{2-f_{\text{下}}}2\right]dx)

• 形心坐标：
  [
  \bar{x}=\frac{S_y}{S},\quad \bar{y}=\frac{S_x}{S}
  ]

2. 性质

• 均匀密度薄片，形心=几何中心；

• 对称图形：对称轴上坐标为0（简化计算）。