随机事件和概率

概率论；第一章

随机事件和概率 知识点总结

1. 随机事件与样本空间

1.1 基本概念

随机试验（）：满足以下三个条件的试验：

• 可以在相同条件下重复进行

• 每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确所有可能结果

• 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

样本空间（）：随机试验所有可能结果组成的集合

样本点（）：样本空间中的每个元素，即随机试验的每个可能结果

随机事件（）：样本空间的子集，即由若干个样本点组成的集合

1.2 事件的分类

基本事件：由一个样本点组成的单点集

复合事件：由多个样本点组成的集合

必然事件：样本空间 本身，每次试验一定发生，记为

不可能事件：空集，每次试验一定不发生，记为

2. 事件的关系与运算

2.1 事件的关系

包含关系

• 定义：若事件 发生必然导致事件 发生，则称 包含于 ，记为

• 性质：

  • 若 且 ，则

相等关系

• 定义：若 且 ，则称 与 相等，记为

互斥关系（互不相容）

• 定义：若事件 与 不能同时发生，即 ，则称 与 互斥

• 注意：互斥事件不一定是对立事件

对立关系（互逆）

• 定义：若 且 ，则称 与 互为对立事件，记为

• 性质：

• 与 必互斥

2.2 事件的运算

并集（和事件）

• 定义：事件 与 至少有一个发生，记为 或

• 性质：

  • 若 ，则

交集（积事件）

• 定义：事件 与 同时发生，记为 或

• 性质：

  • 若 ，则

差集

• 定义：事件 发生而 不发生，记为

• 等价关系：

对称差

• 定义：事件 与 恰好有一个发生，记为

• 等价关系：

2.3 运算律

交换律

结合律

分配律

对偶律（德摩根律）

• 推广：，

3. 概率的定义与性质

3.1 概率的公理化定义

设 是随机试验， 是样本空间，对于 的每个事件 ，赋予一个实数 ，满足：

1. 非负性：

2. 规范性：

3. 可列可加性：对于两两互斥的事件 ，有

则称 为事件 的概率。

3.2 概率的基本性质

1. 不可能事件概率：

2. 有限可加性：若 两两互斥，则

3. 单调性：若 ，则 ，且

4. 加法公式：

   • 推广：

5. 减法公式：

6. 对立事件概率：

4. 古典概型与几何概型

4.1 古典概型

定义

满足以下两个条件的概率模型：

1. 样本空间中只有有限个基本事件

2. 每个基本事件发生的可能性相等

计算公式

适用场景

• 摸球问题

• 分房问题

• 随机取数问题

• 排列组合问题

典型例题

例 1：从 6 个圆中随机取出 2 个，已知相邻的圆都相切，求这 2 个圆不相切的概率。

解析：

• 总取法： 种

• 相切的情况：7 种（数切点个数）

• 不相切的概率：

4.2 几何概型

定义

满足以下两个条件的概率模型：

1. 样本空间是一个几何区域（长度、面积、体积等）

2. 每个基本事件的发生与区域的几何度量成正比

计算公式

适用场景

• 会面问题

• 蒲丰投针问题

• 随机变量取值问题

典型例题

例 2：甲乙两人约定在 6 点到 7 点之间会面，先到者等候 15 分钟，过时即离去。求两人能会面的概率。

解析：

• 设甲到达时间为 ，乙到达时间为

• 样本空间：

• 会面条件：

• 概率：

5. 条件概率与五大公式

5.1 条件概率

定义

设 是两个事件，且 ，则在事件 发生的条件下事件 发生的概率为：

性质

2. 若 ，则

3. 若 与 互斥，则

5.2 乘法公式

推广：

5.3 全概率公式

完备事件组

设 是样本空间 的一个划分，即：

全概率公式

典型例题

例 3：三个箱子，第一个箱子有 4 黑 1 白，第二个有 3 黑 3 白，第三个有 3 黑 5 白。随机取一个箱子，再取一个球，求取得白球的概率。

解析：

• ，，

5.4 贝叶斯公式

意义

• 先验概率：

• 后验概率：

• 用于由果溯因的推断

典型例题

例 4：某种疾病的发病率为 0.001，诊断试验的准确率为 0.95（患病者 95% 呈阳性，健康者 95% 呈阴性）。若某人试验呈阳性，求其实际患病的概率。

解析：

• ，

• ，

6. 事件的独立性

6.1 两个事件的独立性

定义

若 ，则称事件 与 相互独立。

等价定义

性质

1. 若 与 独立，则 与 ， 与 ， 与 也相互独立

2. 若 或 ，则 与任意事件独立

3. 独立性与互斥性的关系：

   • 若 ，，则 与 独立和互斥不能同时成立

   • 若 与 既独立又互斥，则 或

4. 若 ，则 和 独立

6.2 多个事件的独立性

三个事件的独立性

相互独立需要满足：

性质

• 若 相互独立，则任意两个事件也相互独立（两两独立）

• 反之不成立，即两两独立不一定相互独立

6.3 重伯努利试验

定义

满足以下条件的试验：

1. 每次试验只有两种可能结果： 和

2. 每次试验中 ，

3. 各次试验相互独立

4. 共进行 次试验

二项概率公式

次试验中 恰好发生 次的概率：

典型例题

例 5：设每次试验成功的概率为 ，进行 3 次独立试验，在至少成功 1 次的条件下 3 次都成功的概率为 ，求 。

解析：

• (3 次都成功)

• (至少 1 次成功)

• 条件概率：

• 解得：

7. 数学一真题分析

7.1 历年真题考点分布

古典概型与几何概型

2020 年数学一第 14 题：

设随机事件 与 相互独立， 与 相互独立，，若 ，，则 。

条件概率与五大公式

2019 年数学一第 7 题：

设随机事件 满足 ，，则 。

事件的独立性

2018 年数学一第 14 题：

设随机事件 与 相互独立， 与 相互独立，，则 。

8 模拟训练

基础训练题

1. 设 为随机事件，，，，求 。

2. 从 52 张扑克牌中随机抽取 5 张，求其中有 4 张 的概率。

综合应用题

1. 某工厂有三条生产线，合格率分别为 ，产量占比分别为 。现随机抽取一件产品，求：

   (1) 该产品为合格品的概率；

   (2) 若该产品为合格品，求其来自第一条生产线的概率。

Date: 2025 年 10 月 19 日

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