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随机变量及其概率分布

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概率论,第二章

随机变量及其概率分布

随机变量的概念

定义

设为随机试验，为其样本空间，若对于每一个结果(样本点)，都有一个实数与之对应，则称定义在上的实值函数为随机变量。

分类

  • 离散型随机变量：取值为有限个或可列无限多个

  • 连续型随机变量：取值充满某个区间

常用性质

  1. 事件的等价表示：，其中是实数集的子集

  2. 概率的基本性质：对于任意实数，有

离散型随机变量

分布律的定义

设离散型随机变量可能的取值为，且，则称其为的分布律。

分布律的性质

常用离散型分布

1. 0-1分布

  • 分布律：

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 是二项分布的特例（）
    • 适用于任何只有两个结果的试验

2. 二项分布

  • 分布律：

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 可加性：若且独立，则
    • 最可能值：
    • 泊松近似：当很大、很小时，

3. 泊松分布

  • 分布律：

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 可加性：若且独立，则
    • 期望等于方差：
    • 稀有事件定律：适用于稀有事件的发生次数

4. 几何分布

  • 分布律：

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 无记忆性：
    • 描述首次成功所需的试验次数

5. 超几何分布

  • 分布律：$P{X = k} = \frac{C_M^k C_{N-M}{n-k}}{C_Nn}, \quad k = 0, 1, \ldots, \min(n, M)$

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 当很大时，近似为二项分布
    • 描述不放回抽样中的成功次数

泊松定理

设是常数，是正整数，且，则对于任一固定的非负整数，有：

连续型随机变量

概率密度的定义

对于随机变量的分布函数，如果存在非负可积函数，使得对于任意实数有：

则称为连续型随机变量，称为的概率密度函数。

概率密度的性质

  4. 对于任意实数，

常用连续型分布

1. 均匀分布

概率密度函数：

其他

分布函数：

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 区间概率均匀性：对于任意，
    • 条件均匀性：在任一子区间上仍服从均匀分布

2. 指数分布

概率密度函数：

分布函数：

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 无记忆性：
    • 失效率恒定：表示瞬时失效率
    • 最小值分布：若独立同服从，则

3. 正态分布

概率密度函数：

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e{-\frac{(x-\mu)2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < +\infty$$

分布函数：

$$F(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e{-\frac{(t-\mu)2}{2\sigma^2}} dt$$

  • 记法：

  • 期望：

  • 方差：

  • 常用性质：

    • 标准化：
    • 对称性：
    • 可加性：若且独立，则$aX + bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2, a2\sigma_12 + b2\sigma_22)$
    • 线性变换不变性：正态分布经过线性变换后仍为正态分布

分布函数

定义

设是一个随机变量，是任意实数，函数：

称为的分布函数。

性质

  1. 单调性：是不减函数

  2. 有界性：，且

  3. 右连续性：

常用性质

  1. 概率计算公式：

  2. 离散型与连续型的关系：

    • 离散型：，在跳跃点处不连续
    • 连续型：，处处连续，且

  3. 分布函数的唯一性：分布函数唯一确定随机变量的分布

随机变量的函数的分布

离散型随机变量函数的分布

设是离散型随机变量，，则也是离散型随机变量，其分布律为：

连续型随机变量函数的分布

分布函数法

  1. 求的分布函数：

  1. 对求导得到概率密度：

公式法（单调函数）

设的概率密度为，是严格单调函数，其反函数为，则：

常用变换公式

1. 线性变换

若，则$Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a2\sigma2)$

2. 平方变换

若，则

3. 指数变换

若，则服从对数正态分布，其概率密度为：

$$f_Y(y) = \frac{1}{y\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(\ln y - \mu)2}{2\sigma2}}, \quad y > 0$$

4. 倒数变换

若，则的概率密度为：

数字特征总结

期望和方差的性质

期望的性质

  1. ©，其中为常数

  4. 若和独立，则

方差的性质

  1. ©，其中为常数

  4. 若和独立，则

常用分布的期望和方差表

分布类型 记法 期望 方差
0-1分布
二项分布
泊松分布
几何分布
超几何分布
均匀分布
指数分布
正态分布

经典题型解析

题型一：分布律的确定

例题1：设离散型随机变量的分布律为，求常数。

解：

  • 由分布律的规范性：

  • 等比级数求和：

  • 故

题型二：期望和方差的计算

例题2：设，求。

解：

题型三：正态分布的计算

例题3：设，求和。

解：

  • 标准化：

题型四：随机变量函数的分布

例题4：设，求的概率密度。

解：

  • 在上严格单调递增

  • 反函数：，

  • 概率密度：

题型五：综合应用题

例题5：设某电话交换台每分钟接到的呼唤次数，求：
(1) 每分钟恰好接到8次呼唤的概率；
(2) 每分钟接到的呼唤次数大于10的概率。

解：

  • (1)

  • (2)