反常积分及其审敛法

一、 反常积分的基本概念

反常积分是定积分的推广，突破了定积分“积分区间有限”和“被积函数在区间上有界”的两个限制，分为两类核心类型。

类型	定义	关键要点
无穷限的反常积分	积分区间至少有一个端点为无穷（、 或双向无穷） 1. $\int_{a}{+\infty}f(x)dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}{b}f(x)dx\int_{-\infty}{b}f(x)dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\int_{a}{b}f(x)dx\int_{-\infty}{+\infty}f(x)dx=\int_{-\infty}{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dxc$ 为任意实数）	极限存在则积分收敛，极限不存在则积分发散；双向无穷积分需拆分为两个单侧无穷积分，两个都收敛整体才收敛
无界函数的反常积分（瑕积分）	被积函数在积分区间内某点无界（该点称为瑕点） 1. 瑕点在左端点 ：$\int_{a}{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to0+}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dxx=b\int_{a}{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon\to0+}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dxx=c\in(a,b)\int_{a}{b}f(x)dx=\int_{a}{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$	1. 瑕点判断： 在 处无界（如 、 在 处） 2. 区间内瑕点需拆分积分，两个都收敛整体才收敛

易错点区分

• 无穷限积分的反常性来自区间，瑕积分的反常性来自被积函数的无界性；

• 混合型反常积分（既有无穷限又有瑕点）：需拆分为多个单一类型的反常积分，例如 $\int_{0}^{{+\infty}\frac{1}{x}2}dx\int_{0}^{{1}\frac{1}{x}2}dxx=0+\int_{1}^{{+\infty}\frac{1}{x}2}dx$（无穷限积分）。

二、 反常积分的计算方法

核心思路：转化为定积分的极限，步骤标准化，缺一不可。

1. 找反常点：确定积分的无穷端点或瑕点；

2. 拆分积分：将混合型或双向无穷积分拆分为多个单一类型的反常积分；

3. 计算定积分：对拆分后的每个积分，先计算对应的定积分；

4. 取极限判断：计算定积分的极限，根据极限存在性判断敛散性；若收敛，极限值即为反常积分值。

典型例题

例1 计算 $\int_{1}^{{+\infty}\frac{1}{x}2}dx$
\int_{1}^{{+\infty}\frac{1}{x}2}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{1}^{b}x{-2}dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)\bigg|{1}^{b}=\lim\limits{b\to+\infty}\left(1-\frac{1}{b}\right)=1
$$
极限存在，积分收敛，值为 。

例2 计算 （瑕积分，瑕点 ）解：
$$
\int_{0}^{1}\ln xdx=\lim\limits_{\varepsilon\to0^{+}\int_{\varepsilon}}{1}\ln xdx=\lim\limits_{\varepsilon\to0^+}\left(x\ln x-x\right)\bigg|{\varepsilon}^{1}
$$
由洛必达法则，$\lim\limits{\varepsilon\to0^+}\varepsilon\ln\varepsilon=0-1$。

三、 反常积分的审敛法（核心考点）

直接计算极限判断敛散性往往复杂，审敛法可通过函数形态直接判断敛散性，分为正项函数和非正项函数两类审敛体系。

1. 正项函数的审敛法（ 在积分区间上）

此类审敛法是考研重点，核心是比较原则，需牢记标杆积分的敛散性结论。

（1） 标杆积分的敛散性（必须熟记！）

标杆积分	敛散性结论	记忆口诀
p-积分（无穷限） $\int_{1}{+\infty}\frac{1}{xp}dx$	时收敛； 时发散	无穷限 p-积分，p>1 收敛
q-积分（瑕积分） $\int_{0}{1}\frac{1}{xq}dxx=0$）	时收敛； 时发散	瑕积分 q-积分，q<1 收敛

（2） 比较审敛法（一般形式）

设 在积分区间上成立：

• 若 收敛，则 收敛；

• 若 发散，则 发散。

（3） 比较审敛法（极限形式，最常用！）

设 ，，且 （或 瑕点时的极限）：

• 若 ，则 与 同敛散；

• 若 且 收敛，则 收敛；

• 若 且 发散，则 发散。

适用场景：被积函数为分式（如 、），选取标杆函数（如 ）进行比较。

（4） 比值审敛法（达朗贝尔）

设 ，：

• 时， 收敛；

• 时， 发散；

• 时，审敛法失效。

2. 非正项函数的审敛法

针对 可正可负的情况，核心是绝对收敛和条件收敛的概念，以及狄利克雷、阿贝尔审敛法（数学一重点）。

（1） 绝对收敛与条件收敛

• 绝对收敛：若 收敛，则 必收敛，称为绝对收敛；

• 条件收敛：若 收敛，但 发散，称为条件收敛。

结论：绝对收敛 收敛；收敛 绝对收敛。

例题：判断 敛散性解：$|\frac{\sin x}{x^{2}|\leq\frac{1}{x}2}\int_{1}^{{+\infty}\frac{1}{x}2}dx$ 收敛，故原积分绝对收敛。

（2） 狄利克雷审敛法（数学一）

若满足两个条件：

1. 积分 对任意 有界（即 ，）；

2. 函数 在 时单调趋于 ；则 收敛。

典型应用： 收敛（， 有界； 单调趋于 ），但 发散，故该积分条件收敛。

（3） 阿贝尔审敛法（数学一）

若满足两个条件：

1. 收敛；

2. 函数 在 上单调有界；则 收敛。

四、 考研常见题型与考点分析

题型	解题思路	高频考点
题型1：反常积分的计算与敛散性判断	1. 找反常点→拆分积分 2. 计算定积分极限 3. 判断极限存在性	混合型反常积分的拆分；瑕点的识别；洛必达法则在极限中的应用
题型2：利用审敛法判断敛散性	1. 正项函数：优先用比较审敛法极限形式，选标杆函数 2. 非正项函数：先判断是否绝对收敛，再用狄利克雷/阿贝尔审敛法	标杆积分的应用；绝对收敛与条件收敛的区分；狄利克雷审敛法的条件
题型3：反常积分的证明题	1. 收敛性证明：构造比较函数，用比较审敛法 2. 发散性证明：反证法或找发散的比较函数	正项函数的比较原则；绝对收敛的性质
题型4：综合题	结合无穷级数（反常积分与级数审敛法的类比）、微分方程等知识点	反常积分与级数的敛散性关联；含反常积分的不等式证明

高频易错点

1. 忽略瑕点：直接将瑕积分按定积分计算，导致错误；

2. 双向无穷积分未拆分：直接计算 ，正确做法是拆分为 $\int_{-\infty}^{c}+\int_{c}{+\infty}$；

3. 审敛法适用条件混淆：比较审敛法仅适用于正项函数，非正项函数需先判断绝对收敛。

五、 核心结论速记

1. 无穷限 p-积分： 收敛， 发散；

2. 瑕积分 q-积分： 收敛， 发散；

3. 绝对收敛必收敛，条件收敛是收敛但不绝对收敛；

4. 狄利克雷审敛法关键：积分有界 + 函数单调趋于 0。

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