定积分结论与使用

定积分常用结论

1. 区间再现公式

使用场景

被积函数包含 ，或分母是 与 构成的对称分式；积分区间为任意闭区间 ，无需满足对称性要求。

典型例题

计算
步骤如下：

1. 设原积分为 ，根据区间再现公式，令 ，则 $I=\int_{0}^{{\pi}\frac{(\pi-t)\sin(\pi-t)}{1+\cos}2(\pi-t)}dt$；

2. 利用三角恒等式 、，化简得 ；

3. 将原积分与化简后的积分相加，得 ；

4. 计算右侧积分：令 ，，则 $\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx = -\int_{1}^{{-1}\frac{du}{1+u}2} = \arctan u\big|_{-1}^{1} = \frac{\pi}{2}$；

5. 最终解得 。

拓展延伸

1. 多次使用区间再现可处理复杂分式积分，例如 ，构造 后可直接化简为 ；

2. 结合分部积分法，能消去被积函数中的多项式因子（如 $x^2、x3$），降低积分难度。

应试易错点

1. 替换后忽略三角恒等变换，误将 直接等同于 ，导致推导方向错误；

2. 纠结积分变量符号，忘记“定积分结果与积分变量无关”，无法完成 到 的替换。

2. 正余弦互换公式

使用场景

积分区间严格限定为 ，被积函数是 和 的对称表达式（如分式分子分母为 与 的线性组合）。

典型例题

计算
步骤如下：

1. 设原积分为 ，根据公式得 ；

2. 两式相加得 ；

3. 解得 。

拓展延伸

1. 可推广到正切、余切函数：；

2. 结合华里士公式，可快速求解形如 $\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin}n x}{\sin^n x+\cos^n x}dx\frac{\pi}{4}n$ 为任意实数）。

应试易错点

1. 区间不满足 时强行套用，例如将公式用于 区间的积分，导致结果错误；

2. 被积函数无对称结构时误用，例如 不满足对称条件，无法构造 化简。

3. 公式

使用场景

积分区间为 ，被积函数是 与关于 的函数的乘积形式，核心作用是消去被积函数中的 因子。

典型例题

计算 $\int_{0}^{\pi}x\sin3 xdx$
步骤如下：

1. 直接套用公式，令 ，则原积分 $I=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}\sin3 xdx$；

2. 利用 在 上的对称性，$\int_{0}^{\pi}\sin3 xdx = 2\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\sin}3 xdx$；

3. 由华里士公式得 $\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\sin}3 xdx = \frac{2}{3}\int_{0}^{\pi}\sin3 xdx = \frac{4}{3}$；

4. 最终解得 。

拓展延伸

该公式仅适用于 区间，若区间为 （），无通用结论，需结合区间再现公式尝试构造。

应试易错点

混淆积分区间，将公式套用在 或 上，导致推导逻辑断裂。

4. 对称区间 上奇偶函数的积分

公式内容

• 偶函数：（满足 ）

• 奇函数：（满足 ）

使用场景

积分区间关于原点对称，优先判断被积函数的奇偶性，可大幅简化计算，避免复杂的变量替换。

典型例题

计算 $\int_{-1}^{1}(x3\cos x + e^x + x^2)dx$
步骤如下：

1. 拆分被积函数：$\int_{-1}^{1}x3\cos xdx + \int_{-1}^{1}exdx + \int_{-1}^{1}x2dx$；

2. 判断奇偶性： 是奇函数（奇×偶=奇），积分结果为 ； 是偶函数，积分结果为 $2\int_{0}^{1}x2dxe^x$ 非奇非偶，需单独计算；

3. 计算各部分：$\int_{-1}^{1}exdx = e - \frac{1}{e}2\int_{0}^{1}x2dx = \frac{2}{3}$；

4. 总结果为 。

拓展延伸

非对称区间可拆分为对称区间与剩余区间之和，例如 ，再对对称部分使用奇偶性结论。

应试易错点

1. 区间不对称时强行套用公式，例如 不是对称区间，不能直接用奇偶性化简；

2. 误判复合函数奇偶性，例如 是偶函数， 非奇非偶，避免凭直觉判断。

5. 周期函数的积分公式

使用场景

被积函数是周期函数（满足 ），且积分区间长度恰好为一个周期 。

典型例题

计算
步骤如下：

1. 判断周期： 的周期为 ，积分区间长度 是 2 个周期；

2. 套用公式：；

3. 计算得 （因 ）。

拓展延伸

若积分区间长度为 个周期（ 为正整数），则 ；若区间长度不是周期整数倍，需拆分为“整数周期部分 + 剩余区间部分”。

应试易错点

1. 误判函数周期，例如 周期为 ，但 周期为 ，两者周期不同，不可混淆；

2. 忽略绝对值对周期的影响，直接按 的周期计算，导致结果偏差。

6. 华里士公式（Wallis）

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1. 基础公式（([0,\frac{\pi}{2}]) 区间）

设
[
I_n = \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\sin}n x,dx = \int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\cos}n x,dx
]

• 当 (n) 为正偶数：
  [
  I_n = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}
  ]

• 当 (n) 为正奇数：
  [
  I_n = \frac{(n-1)!!}{n!!}
  ]

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2. 推广到 ([0,\pi]) 区间

正弦函数 (\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sinn x,dx)

• 当 (n) 为偶数：
  [
  \int_{0}^{\pi}\sinn x,dx = 2I_n = 2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}
  ]

• 当 (n) 为奇数：
  [
  \int_{0}^{\pi}\sinn x,dx = 2I_n = 2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!}
  ]

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余弦函数 (\displaystyle \int_{0}^{\pi}\cosn x,dx)

• 当 (n) 为偶数：
  [
  \int_{0}^{\pi}\cosn x,dx = 2I_n = 2 \cdot \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}
  ]

• 当 (n) 为奇数：
  [
  \int_{0}^{\pi}\cosn x,dx = 0
  ]

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3. 再推广到 ([0,2\pi]) 区间

• 正弦/余弦函数：
  [
  \int_{0}^{2\pi}\sinn x,dx = \int_{0}^{2\pi}\cosn x,dx
  =
  
  ]

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4. 混合幂次积分（([0,\frac{\pi}{2}]) 区间）

[
\int_{0}^{{\frac{\pi}{2}}\sin}m x \cos^n x,dx
= \frac{(m-1)!!,(n-1)!!}{(m+n)!!} \cdot

]

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应试易错点

1. 混淆积分区间，例如 $\int_{0}^{\pi}\cos5 xdx \neq I_5$，实际结果为 0；

2. 双阶乘与普通阶乘混淆，例如误将 计算为 ，导致结果错误。

核心拓展：结论的联动使用

考研数学定积分大题，极少单独考查一个结论，常见的高频组合方式有三种：

1. 区间再现 + 华里士公式：先用区间再现消去被积函数中的 因子，再用华里士公式计算高次三角函数积分；

2. 奇偶性 + 周期函数：先拆分积分区间为对称区间与非对称区间，对称部分用奇偶性化简，非对称部分用周期性换元；

3. 正余弦互换 + 区间合并：构造 的形式，将复杂分式转化为常数积分，再计算最终结果。

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