全微分形式不变性
一、定义与本质
设 ( z = f(u,v) )，无论 ( u,v ) 是自变量还是中间变量（函数），都有：
[
\mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial u}\mathrm{d}u + \frac{\partial z}{\partial v}\mathrm{d}v
]
这就叫全微分形式不变性。
二、三大核心应用
1. 复合函数求偏导（最稳、不易错）
对 ( z=f(u,v),\ u=u(x,y),\ v=v(x,y) )
[
\mathrm{d}z = f_u’\mathrm{d}u + f_v’\mathrm{d}v
]
再把
[
\mathrm{d}u = u_x’\mathrm{d}x + u_y’\mathrm{d}y,\quad \mathrm{d}v = v_x’\mathrm{d}x + v_y’\mathrm{d}y
]
代入，合并同类项后：
-
(\mathrm{d}x) 的系数就是 ( \dfrac{\partial z}{\partial x} )
-
(\mathrm{d}y) 的系数就是 ( \dfrac{\partial z}{\partial y} )
优点：不用记链式法则结构图，一步步写微分永远不会漏项。
2. 隐函数求导（万能法）
对 ( F(x,y,z)=0 ) 两边直接微分：
[
F_x’\mathrm{d}x + F_y’\mathrm{d}y + F_z’\mathrm{d}z = 0
]
解出：
[
\mathrm{d}z = -\frac{F_x’}{F_z’}\mathrm{d}x - \frac{F_y’}{F_z’}\mathrm{d}y
]
立刻读出：
[
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x’}{F_z’},\quad
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y’}{F_z’}
]
优点：不用背公式，微分一遍就出结果。
3. 求二阶偏导 / 混合偏导（规范、不乱）
先用一次不变性求出一阶微分：
[
\mathrm{d}z = A(x,y)\mathrm{d}x + B(x,y)\mathrm{d}y
]
再对 ( A,B ) 继续微分，就能自然得到二阶偏导，且：
-
混合偏导相等会自动体现
-
比直接求导更不容易符号混乱
下面用3道最典型考研题，把全微分形式不变性的用法讲透，步骤直接可照搬。
一、复合函数偏导（最常用）
题目
设 (z=e^{u}\sin v)，(u=xy)，(v=x+y)，求
[
\frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y}
]
用全微分形式不变性做
不管 (u,v) 是自变量还是中间变量，都先写：
[
dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv
]
-
求偏导
[
\frac{\partial z}{\partial u}=e^u\sin v,\quad \frac{\partial z}{\partial v}=e^u\cos v
] -
写出 (du,dv)
[
du = ydx + xdy,\quad dv = dx + dy
] -
代入
[
dz = e^u\sin v,(ydx+xdy) + e^u\cos v,(dx+dy)
] -
按 (dx,dy) 合并同类项
[
dz = \underbrace{\bigl[e^u\sin v\cdot y + e^u\cos v\bigr]}_{\frac{\partial z}{\partial x}}dx
-
\underbrace{\bigl[e^u\sin v\cdot x + e^u\cos v\bigr]}_{\frac{\partial z}{\partial y}}dy
]
-
回代 (u=xy,v=x+y)
[
\frac{\partial z}{\partial x}=e^{xy}\bigl[y\sin(x+y)+\cos(x+y)\bigr]
]
[
\frac{\partial z}{\partial y}=e^{xy}\bigl[x\sin(x+y)+\cos(x+y)\bigr]
]
优点：不用画链式图，不漏项、不错层。
二、隐函数求导（万能法）
题目
设方程
[
e^z - xyz = 0
]
确定 (z=z(x,y))，求 (\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y})。
用全微分形式不变性
两边直接微分（对每个变量微分）：
[
d(e^z) - d(xyz) = d(0)
]
[
e^z dz - (yz dx + xz dy + xy dz) = 0
]
把含 (dz) 放一边：
[
(e^z - xy)dz = yz dx + xz dy
]
解出：
[
dz = \frac{yz}{e^z - xy}dx + \frac{xz}{e^z - xy}dy
]
直接读出：
[
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{yz}{e^z - xy},\quad
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{xz}{e^z - xy}
]
秒杀：不用背隐函数公式，微分一遍就出结果。
三、求二阶混合偏导（体现不变性优势）
题目
设 (z=f(x2+y2,xy))，(f) 二阶连续可偏导，求
[
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}
]
第一步：一阶微分（不变性）
令
[
u=x2+y2,\quad v=xy
]
[
dz = f_1’du + f_2’dv
]
[
du=2xdx+2ydy,\quad dv=ydx+xdy
]
[
dz = f_1’(2xdx+2ydy)+f_2’(ydx+xdy)
]
整理：
[
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x f_1’ + y f_2’
]
第二步：对 (y) 求偏导（求混合偏导）
[
\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}
= \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x f_1’ + y f_2’\bigr)
]
[
= 2x\bigl(f_{11}‘’\cdot 2y + f_{12}‘’\cdot x\bigr)
-
f_2’ + y\bigl(f_{21}‘’\cdot 2y + f_{22}‘’\cdot x\bigr)
]
因为二阶连续，(f_{12}‘’=f_{21}‘’)，合并：
[
= 4xy f_{11}‘’ + 2(x2+y2)f_{12}‘’ + xy f_{22}‘’ + f_2’
]
关键：用全微分先拆一层，再求导结构极清晰，
四、一句话总结
-
不管自变量还是中间变量，微分形式永远不变
[
dz = f_u du + f_v dv
] -
求偏导 = 拆微分，看 dx、dy 系数
-
隐函数 = 两边直接微分，解出 dz
-
二阶偏导 = 先用不变性求一阶，再求导更稳