多元函数微分学基本性质(路径法)

多元函数微分学核心定理与性质

一、二元函数极限与连续（路径法核心）

1. 二重极限

• 定义： 以任意路径趋于 ， 都趋于同一常数 。

• 路径法判定极限不存在

  1. 找两条不同路径趋于 ；
  2. 若极限不相等或一条不存在，则二重极限不存在。

• 常用路径

  • 直线路径：（ 不同）
  • 曲线路径：$y=kx^{2, y=x}3$ 等

2. 连续

• 初等多元函数在定义域内连续。

---

二、偏导数

1. 一阶偏导定义

[
f_x’(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
]
[
f_y’(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}
]

2. 关键关系（必背）

1. 偏导存在 ⇏ 连续

2. 连续 ⇏ 偏导存在

3. 可微 ⇒ 连续 + 一阶偏导存在

---

三、全微分（可微）

1. 可微定义

[
\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho),\ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
]
则 。

2. 可微充分条件

若 在 连续，则 在该点可微。

3. 可微必要条件

可微 ⇒ 偏导存在，且
[
A=f_x’(x_0,y_0),\ B=f_y’(x_0,y_0)
]

---

四、二阶混合偏导数（核心定理）

定理

若 与 在点 连续，则
[
f_{xy}‘’(x_0,y_0)=f_{yx}‘’(x_0,y_0)
]

• 考研常见：初等函数二阶混合偏导连续，一定相等。

• 分段函数需单独验证连续性。

---

五、多元复合函数求导（链式法则）

1. 一元复合

[
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}
]

2. 多元复合

[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
]
[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}
]

---

六、隐函数求导

1. 一元隐函数

[
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{F_x’}{F_y’} \quad (F_y’\neq0)
]

2. 二元隐函数

[
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x’}{F_z’},\quad
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y’}{F_z’} \quad (F_z’\neq0)
]

---

七、多元函数极值（无条件）

1. 必要条件

极值点处若偏导存在，则
[
f_x’(x_0,y_0)=0,\ f_y’(x_0,y_0)=0
]
（驻点 ⇏ 极值）

2. 充分条件（AC-B² 判别法）

设 为驻点，二阶偏导连续：
[
A=f_{xx}‘’,\ B=f_{xy}‘’,\ C=f_{yy}‘’
]
[
\Delta=AC-B^2
]

1. ⇒ 极大值

2. ⇒ 极小值

3. ⇒ 不是极值

4. ⇒ 失效（用定义/路径法）

---

八、条件极值（拉格朗日乘数法）

目标：，约束：
构造：
[
L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)
]
解方程组：
[

]

---

九、逻辑关系图（必背）

[
\text{一阶偏导连续} \Rightarrow \text{可微} \Rightarrow

]
[
\text{二阶混合偏导连续} \Rightarrow f_{xy}‘’=f_{yx}‘’
]

---