一、可微的定义（二元函数）
设 (z = f(x,y)) 在点 ((x_0,y_0)) 的某邻域内有定义，若存在常数 (A,B)，使得函数的全增量
[
\Delta z = f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)
]
可以表示为
[
\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}),\quad (\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to 0)
]
则称 (f(x,y)) 在 ((x_0,y_0)) 可微，并称 (A\Delta x + B\Delta y) 为全微分，记为
[
dz = A\Delta x + B\Delta y
]
且必有 (A = f_x(x_0,y_0),\ B = f_y(x_0,y_0))，即
[
dz = f_x(x_0,y_0)dx + f_y(x_0,y_0)dy
]
二、可微性的判定条件
-
必要条件
- 若 (f(x,y)) 在 ((x_0,y_0)) 可微，则：
- (f(x,y)) 在 ((x_0,y_0)) 连续；
- (f_x(x_0,y_0))、(f_y(x_0,y_0)) 都存在。
- 逆否命题：不连续或偏导不存在 ⇒ 不可微。
- 若 (f(x,y)) 在 ((x_0,y_0)) 可微，则：
-
充分条件
- 若 (f_x(x,y))、(f_y(x,y)) 在 ((x_0,y_0)) 连续，则 (f(x,y)) 在 ((x_0,y_0)) 可微。
- 注意：偏导连续是可微的充分非必要条件。
-
充要条件
- 验证极限
[
\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z - f_x(x_0,y_0)\Delta x - f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\rho} = 0,\quad \rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
] - 若极限为 0，则可微；否则不可微。
- 验证极限
三、典型题型与应用模板
题型1：判断分段函数在分段点的可微性（最常考）
例：判断
[
f(x,y) =
\begin{cases}
\frac{xy}{\sqrt{x2+y2}}, & (x,y)\neq(0,0)\
0, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
]
在 ((0,0)) 处的可微性。
解题步骤：
-
先求偏导（用定义）
[
f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{0 - 0}{\Delta x} = 0
]
[
f_y(0,0) = \lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y\to 0}\frac{0 - 0}{\Delta y} = 0
] -
写出全增量 (\Delta z)
[
\Delta z = f(\Delta x,\Delta y) - f(0,0) = \frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}
] -
代入可微定义式，求极限
[
\frac{\Delta z - f_x(0,0)\Delta x - f_y(0,0)\Delta y}{\rho} = \frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
]
沿 (\Delta y = \Delta x) 趋近：
[
\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x)^2}{2(\Delta x)^2} = \frac12 \neq 0
]
极限不为 0，故在 ((0,0)) 不可微。
题型2：已知可微，求参数或全微分
例：设
[
f(x,y) =
\begin{cases}
(x2+y2)\sin\frac{1}{x2+y2}, & (x,y)\neq(0,0)\
0, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
]
判断在 ((0,0)) 的可微性。
解：
-
先求偏导：
[
f_x(0,0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x)^2\sin\frac{1}{(\Delta x)^2}}{\Delta x} = 0
]
[
f_y(0,0) = 0
] -
验证定义式：
[
\frac{\Delta z - 0\cdot\Delta x - 0\cdot\Delta y}{\rho} = \frac{(\Delta x^2+\Delta y^2)\sin\frac{1}{\Delta x^2+\Delta y^2}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}} = \rho\sin\frac{1}{\rho^2}
]
[
\lim_{\rho\to 0}\rho\sin\frac{1}{\rho^2} = 0
]
极限为 0，故在 ((0,0)) 可微，且 (dz|_{(0,0)} = 0)。
题型3：利用可微性求极限或近似值
-
近似计算：(f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) \approx f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y)
-
求极限：若 (f(x,y)) 在 ((x_0,y_0)) 可微，则
[
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}\frac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)2+(y-y_0)2}} = 0
]
四、考研可微性判别“三步法”模板
-
第一步：检查连续性
- 若 (\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) \neq f(x_0,y_0))，则直接判定不可微。
-
第二步：检查偏导是否存在
- 若 (f_x(x_0,y_0)) 或 (f_y(x_0,y_0)) 不存在，则不可微。
-
第三步：用定义验证可微性（压轴题必用）
- 计算极限
[
\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta z - f_x\Delta x - f_y\Delta y}{\rho}
] - 极限为 0 ⇒ 可微；否则不可微
- 计算极限