偏积分

一、原理（为什么能求原函数）

已知
[
du = Pdx+Qdy \iff \frac{\partial u}{\partial x}=P,\ \frac{\partial u}{\partial y}=Q
]

1. 先对一个变量偏积分（把另一变量当常数），得到含单变量待定函数的表达式；

2. 再对另一变量求偏导，利用**(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y})** 保证：待定函数的导数只含一个变量，可直接积分求出；

3. 代回即得连续可微的原函数 (u(x,y))。

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二、通用步骤

方法1：先对 (x) 偏积分

1. 由 (\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=P)，对 (x) 积分：
   [
   u(x,y)=\int P(x,y)dx+\varphi(y)
   ]

2. 对 (y) 求偏导，令等于 (Q)，解 (\varphi’(y))；

3. 积分得 (\varphi(y))，代回得 (u)。

方法2：先对 (y) 偏积分

1. 由 (\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=Q)，对 (y) 积分：
   [
   u(x,y)=\int Q(x,y)dy+\psi(x)
   ]

2. 对 (x) 求偏导，令等于 (P)，解 (\psi’(x))；

3. 积分得 (\psi(x))，代回得 (u)。

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三、完整例题

题目：求 (P=x^2-y,\ Q=-x+\sin y) 的原函数 (u(x,y))。

① 验证条件

[
\frac{\partial Q}{\partial x}=-1,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-1 \implies \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}
]
满足，可使用偏积分。

② 先对 (x) 偏积分

1. 对 (x) 积分：
   [
   u(x,y)=\int(x^{2-y)dx+\varphi(y)=\frac{x}3}{3}-xy+\varphi(y)
   ]

2. 对 (y) 求偏导：
   [
   \frac{\partial u}{\partial y}=-x+\varphi’(y)=Q=-x+\sin y
   ]

3. 解出：
   [
   \varphi’(y)=\sin y \implies \varphi(y)=-\cos y+C
   ]

4. 原函数：
   [
   u(x,y)=\frac{x^3}{3}-xy-\cos y+C
   ]

③ 验证

[
\frac{\partial u}{\partial x}=x^2-y=P,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-x+\sin y=Q
]
正确。

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四、核心要点

1. 偏积分时只动一个变量，另一个当常数；

2. 积分常数是单变量函数，不是普通常数；

3. (\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}) 是方法可行的唯一条件；

4. 多连通区域只能求局部原函数，无全局单值原函数。

② 折线积分法

[
u(x,y)=\int_{x_0}^x P(x,y_0)dx + \int_{y_0}^y Q(x,y)dy
]
本质：选一条从 ((x_0,y_0)\to(x,y_0)\to(x,y)) 的折线做曲线积分
[
u(x,y)=\int_L Pdx+Qdy
]
因为是全微分，积分与路径无关，所以结果唯一。

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2. 用你这道题验证：两种方法结果一样

方程：
[
\sin x \sin2y,dx - 2\cos x \cos2y,dy=0
]
(P=\sin x \sin2y,\ Q=-2\cos x \cos2y)

（1）偏积分法

[
\frac{\partial u}{\partial x}=\sin x \sin2y
]
对 (x) 积分（(y) 视为常数）：
[
u=-\cos x \sin2y + \varphi(y)
]
对 (y) 求偏导：
[
\frac{\partial u}{\partial y}=-2\cos x \cos2y + \varphi’(y)=Q=-2\cos x \cos2y
]
得 (\varphi’(y)=0\Rightarrow \varphi(y)=C_1)
所以：
[
u=-\cos x \sin2y = C
]

（2）折线积分法（你图里）

取 ((0,0))：
[
u=\int_0^x 0,dx + \int_0^y (-2\cos x \cos2y)dy
= -\cos x \sin2y
]
同样：
[
u=-\cos x \sin2y = C
]