空间几何+曲面积分

空间解析几何 + 曲面积分

（立体几何基础 → 曲面/交线 → 投影/求高 → 直接做题，全串起来）

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一、上篇：空间解析几何（立体几何）——所有积分的基础工具

1. 向量代数（判断平行、垂直、求法向量）

• 点积：(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)

  • (\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0)

• 叉积：(\vec{a}\times\vec{b}) → 求平面/直线法向量、方向向量

• 混合积：((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}) → 判共面、求体积

2. 平面（曲面积分补面必用）

• 点法式：(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0)
  (\vec{n}=(A,B,C)) 为法向量

• 点到平面距离：
  [
  d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B2+C^2}}
  ]

3. 空间直线

• 点向式：(\displaystyle\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n})
  (\vec{s}=(l,m,n)) 为方向向量

• 线面平行/垂直：看直线方向向量与平面法向量的关系

4. 基础曲面规则

• 柱面：缺哪个变量，母线平行哪根轴例：(x^2+y2=x)（无 (z)）→ 母线∥(z) 轴圆柱面

• 旋转曲面：绕谁谁不变，另一变量变 (\sqrt{\cdot^2+\cdot2})

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二、下篇：曲面积分专用——曲面、交线、投影、求高（核心）

1. 真题必考曲面总表

曲面	方程	特征/积分用法
平面	(Ax+By+Cz=D)	高斯公式补面，构闭合曲面
球面	(x2+y2+z2=R2)	闭合曲面，直接高斯
圆柱面	(x2+y2=R^2)	母线∥(z) 轴，投影到 (xOz/yOz)
特殊圆柱	(x2+y2=x)	(\left(x-\frac12\right)2+y2=\frac14)，(r=\cos\theta)
旋转抛物面	(z=x2+y2)	开口向上，常被 (z=h) 截断
圆锥面	(z=\sqrt{x2+y2})	上半锥，顶点在原点
椭球面	(\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}+\frac{z2}{c2}=1)	闭合，高斯首选

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2. 曲面交线 + 投影（万能步骤）

1. 交线：联立两曲面方程
   [
   \Gamma:
   ]

2. 投影到坐标面：

   • 投 (xOy)：消 (z)，令 (z=0)
   • 投 (xOz)：消 (y)，令 (y=0)
   • 投 (yOz)：消 (x)，令 (x=0)

3. 投影区域 = 二重积分积分域 (D)

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3. 圆锥面 / 旋转抛物面「求高」万能法（整合所有题型）

这里的高 = 交线z坐标 / 截断z值

（1）单个曲面被平面截

• 旋转抛物面 (z=x^2+y2) 被 (z=h) 截
  → 高 (=h)；若投影 (x^2+y2\le R^2) → 高 (h=R^2)

• 圆锥面 (z=\sqrt{x^2+y2}) 被 (z=h) 截
  → 高 (=h)；若投影 (x^2+y2\le R^2) → 高 (h=R)

（2）两曲面相交求高（通用3步）

1. 联立方程

2. 消去 (x^2+y2)，只解 (z)

3. 舍去 (z<0) 等不合理根

经典例子
球面 (x^2+y2+z^2=2) + 抛物面 (z=x^2+y2)
代入：(z+z^2=2\Rightarrow z=1)（舍去负根）
→ 交线高 (z=1)，投影 (x^2+y2\le1)

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4. 高频极坐标（直接背）

• (x^2+y2\le R^2)：(0\le r\le R,\ 0\le\theta\le2\pi)

• (x^2+y2=x)：(r=\cos\theta,\ \theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right])

• (x^2+y2=y)：(r=\sin\theta,\ \theta\in[0,\pi])

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