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大O小O的四则运算

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📌 大O($O$)、小o($o$)的四则运算规则（$x\to0$ 场景，考研通用）

我们默认极限过程为 $x \to 0$，所有运算均在此前提下成立，核心是阶数的比较与吸收。

一、基础定义（先明确概念）

1. 小o记号 $o(g(x))$

若 $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称 $f(x)$ 是比 $g(x)$ 更高阶的无穷小，记为 $f(x)=o(g(x))$。

  • 核心含义：$f(x)$ 趋于0的速度远快于 $g(x)$。

  • 常用：$o(x^n)$ 表示比 $x^n$ 高阶的无穷小，即 $\lim_{x\to0}\frac{o(xn)}{xn}=0$。

2. 大O记号 $O(g(x))$

若存在常数 $M>0$，使得当 $x$ 足够小时，$|f(x)| \le M|g(x)|$，则称 $f(x)$ 是与 $g(x)$ 同阶或更低阶的无穷大/无穷小，记为 $f(x)=O(g(x))$。

  • 核心含义：$f(x)$ 趋于0的速度不慢于 $g(x)$（即阶数 $\le g(x)$ 的阶数）。

  • 常用：$O(x^n)$ 表示阶数 $\le n$ 的无穷小，即 $\lim_{x\to0}\frac{O(xn)}{xn}$ 为有限值。

二、小o($o$)的四则运算（考研高频）

1. 加法/减法（低阶吸收高阶）

  • 核心规则：低阶无穷小吸收高阶无穷小
    $$
    o(x^m) \pm o(x^n) = o(x^{\min(m,n)}) \quad (m,n>0)
    $$
    例：$o(x^2) + o(x^3) = o(x2)$（$x2$ 是低阶，吸收高阶的 $x^3$）

  • 常数倍不改变阶数：
    $$
    c\cdot o(x^n) = o(x^n) \quad (c\neq0)
    $$
    例：$5\cdot o(x^2) = o(x^2)$

2. 乘法（幂次相加）

  • 同阶相乘：
    $$
    o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})
    $$
    例：$o(x)\cdot o(x^2) = o(x^3)$

  • 与多项式相乘：
    $$
    x^k \cdot o(x^n) = o(x^{k+n})
    $$
    例：$x^2 \cdot o(x^3) = o(x^5)$

  • 与大O相乘：
    $$
    O(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})
    $$

3. 除法（仅当分母阶数低于分子时成立）

  • 仅当 $m < n$ 时：
    $$
    \frac{o(xn)}{xm} = o(x^{n-m})
    $$
    例：$\frac{o(x^3)}{x} = o(x^2)$

  • 若 $m \ge n$，则 $\frac{o(xn)}{xm}$ 不是无穷小，无意义。

4. 复合运算

  • 若 $f(x)=o(x^n)$，则 $f(x)^k = o(x^{nk})$
    例：$f(x)=o(x)$，则 $f(x)2=o(x2)$

  • 若 $u(x)=o(1)$（即 $u(x)\to0$），则 $o(u(x))=o(1)$

三、大O($O$)的四则运算

1. 加法/减法（低阶吸收高阶）

  • 核心规则：低阶主导，吸收高阶
    $$
    O(x^m) \pm O(x^n) = O(x^{\min(m,n)})
    $$
    例：$O(x) + O(x^2) = O(x)$

  • 常数倍不改变阶数：
    $$
    c\cdot O(x^n) = O(x^n) \quad (c\neq0)
    $$

2. 乘法（幂次相加）

  • 同阶相乘：
    $$
    O(x^m) \cdot O(x^n) = O(x^{m+n})
    $$
    例：$O(x)\cdot O(x^2) = O(x^3)$

  • 与多项式相乘：
    $$
    x^k \cdot O(x^n) = O(x^{k+n})
    $$

  • 与小o相乘：
    $$
    O(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})
    $$

3. 除法

  • 仅当 $m \le n$ 时：
    $$
    \frac{O(xn)}{xm} = O(x^{n-m})
    $$
    例：$\frac{O(x^3)}{x} = O(x^2)$

4. 复合运算

  • 若 $f(x)=O(x^n)$，则 $f(x)^k = O(x^{nk})$

  • 若 $u(x)=O(1)$（有界量），则 $O(u(x))=O(1)$

四、大O与小o的混合运算

运算 结果 说明
$o(x^n) + O(x^m)$ $O(x^{\min(m,n)})$ 低阶主导
$o(x^n) \cdot O(x^m)$ $o(x^{n+m})$ 小o吸收大O
$\frac{o(xn)}{O(xm)}$ $o(x^{n-m})$（$n>m$） 分母阶数低于分子
$\frac{O(xn)}{o(xm)}$ 无意义 分母是高阶无穷小，趋于0更快
$O(o(x^n))$ $o(x^n)$ 大O包裹小o，结果仍为小o
$o(O(x^n))$ $o(x^n)$ 小o包裹大O，结果仍为小o

五、核心记忆口诀（考研直接背）

小o：

低阶吸收高阶，乘除幂次相加，常数不改变阶数

大O：

低阶主导高阶，乘除幂次相加，有界量不升阶

混合：

小o永远吸收大O，加减看低阶，乘除看幂次

六、易错点提醒

  1. $o(x^n) \neq o(x^m)$（$n\neq m$）：$o(x^2)$ 是比 $o(x)$ 更高阶的无穷小，不能混淆。

  2. $O(x^n)$ 包含 $o(x^n)$：所有 $o(x^n)$ 都是 $O(x^n)$，但反之不成立。

  3. 加减运算不能直接用等价无穷小：等价无穷小本质是 $f(x)=g(x)+o(g(x))$，加减时低阶项会抵消，必须用泰勒展开保留足够阶数，不能只留 $O(x^n)$。

  4. 幂指函数不能直接用o/O替换：必须先化为 $e^{v\ln u}$ 的指数形式，再对指数部分用o/O运算。

七、结合你之前的题目举例

对于 $(1+\sin x2){\frac{1}{x}} = \left[1+x2+o(x4)\right]^{\frac{1}{x}}$：

  1. 化为指数形式：$e{\frac{1}{x}\ln(1+x2+o(x^4))}$

  2. 展开 $\ln$：$\ln(1+x2+o(x4)) = x^2 + o(x^2)$（用 $\ln(1+u)=u+o(u)$）

  3. 指数运算：$\frac{1}{x}\cdot(x2+o(x2)) = x + o(x)$（用 $x^k\cdot o(xn)=o(x{k+n})$）

  4. 最终：$e^{x+o(x)} = 1+x+o(x)$（用 $e^u=1+u+o(u)$）