重要极限

---

一、基准

1. 基础极限①
   [
   \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
   ]

2. 基础极限②
   [
   \lim_{u\to 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e
   ]

3. 1^∞通用结论
   [
   \lim_{x\to\star}\big[1+u(x)\big]^{v(x)}=e{\lim u(x)v(x)},\quad \text{前提：}u(x)\to 0
   ]

---

二、由「基础极限①」衍生的拓展结论

（主打：0/0、0·∞ 型未定式）

拓展1

结论
[
\lim_{\Delta\to 0}\frac{\tan\Delta}{\Delta}=1
]

• 溯源：基础① + 三角恒等变形

• 使用前提：(\Delta\to 0)（同一无穷小）

• 适用未定式：(0/0)

拓展2

结论
[
\lim_{\Delta\to 0}\frac{\arcsin\Delta}{\Delta}=1
]

• 溯源：基础①（换元法）

• 使用前提：(\Delta\to 0)

• 适用未定式：(0/0)

拓展3

结论
[
\lim_{\Delta\to 0}\frac{\arctan\Delta}{\Delta}=1
]

• 溯源：基础①（换元法）

• 使用前提：(\Delta\to 0)

• 适用未定式：(0/0)

拓展4

结论
[
\lim_{\Delta\to 0}\frac{1-\cos\Delta}{\frac{1}{2}\Delta^2}=1
]

• 溯源：基础① 二倍角推导

• 使用前提：(\Delta\to 0)

• 适用未定式：(0/0)

---

三、由「基础极限② + 1^∞通用结论」衍生的拓展结论

（考研核心：覆盖 1^∞、00、∞^0、0/0、0·∞）

（1）指数/对数等价拓展（服务所有未定式）

拓展5

结论
[
\lim_{\Delta\to 0}\frac{\ln(1+\Delta)}{\Delta}=1
]

• 溯源：基础② 两边取对数

• 使用前提：(\Delta\to 0)

• 适用未定式：(0/0,\ 0\cdot\infty)

拓展6

结论
[
\lim_{\Delta\to 0}\frac{e^\Delta-1}{\Delta}=1
]

• 溯源：基础② 指数还原

• 使用前提：(\Delta\to 0)

• 适用未定式：(0/0,\ 0\cdot\infty)

拓展7

结论
[
\lim_{\Delta\to 0}\frac{(1+\Delta)^\alpha-1}{\alpha\Delta}=1\quad(\alpha\neq0)
]

• 溯源：基础② + 对数变形

• 使用前提：(\Delta\to 0,\ \alpha) 为常数

• 适用未定式：(0/0)

---

（2）幂指型未定式专属拓展（1^∞、00、∞^0）

拓展8（1^∞ 最实用秒杀式）

结论
[
\lim f(x)^{g(x)}=e{\lim\big[f(x)-1\big]g(x)}
]

• 溯源：1^∞通用结论（令 (u=f(x)-1)）

• 使用前提：

  1. (\lim f(x)=1)
  2. (\lim g(x)=\infty)
  3. (\lim\big[f(x)-1\big]g(x)) 存在/±∞

• 适用未定式：(\boldsymbol{1^\infty})

拓展9（0^0 型统一结论）

结论
[
\lim f(x)^{g(x)}=e{\lim g(x)\ln f(x)}
]

• 溯源：(f^g=e{g\ln f}) + 拓展5

• 使用前提：

  1. (f(x)>0)（保号）
  2. (\lim f(x)=0^+,\ \lim g(x)=0)
  3. (\lim g(x)\ln f(x)) 存在/±∞

• 适用未定式：(\boldsymbol{0^0})

拓展10（∞^0 型统一结论）

结论
[
\lim f(x)^{g(x)}=e{\lim g(x)\ln f(x)}
]

• 溯源：(f^g=e{g\ln f}) + 拓展5

• 使用前提：

  1. (\lim f(x)=+\infty,\ \lim g(x)=0)
  2. (\lim g(x)\ln f(x)) 存在/±∞

• 适用未定式：(\boldsymbol{\infty^0})

拓展11（1^∞ 差值等价，选择/填空秒杀）

结论
[
(1+\Delta)^{v(x)}-1\sim \Delta\cdot v(x)
]

• 溯源：通用结论 + 拓展6（(e^t-1\sim t)）

• 使用前提：

  1. (\Delta\to 0)
  2. (\Delta\cdot v(x)\to 0)

• 适用未定式：含 (1^\infty) 的 (\boldsymbol{0/0})

---

四、所有拓展结论 通用使用前提（考研红线）

1. 等价替换只用于「乘/除」
   加减中若出现同阶抵消，一律禁止用等价，改用泰勒。

2. 所有 (\Delta) 必须是「同一个无穷小」
   如 (\sin 2x) 只能和 (2x) 比，不能和 (x) 直接用。

3. 幂指函数（(f^g)）必先写成 (e^{g\ln f})
   0^0、∞0、1^∞ 无一例外。

4. 极限必须“保号/存在”
   如 0^0 必须是 0⁺，不能是双侧0。

---