无穷级数
第一章 常数项级数的基本概念与性质
1.1 级数的定义
概念讲解：给定一个无穷数列({u_n})，由它的项依次相加构成的表达式
[
\sum_{n=1}^{\infty}u_n=u_1+u_2+u_3+\dots+u_n+\dots
]
称为无穷级数，简称级数。其中(u_n)称为级数的一般项（通项）。
级数本质是无穷项的累加，不能直接用有限项加法理解，必须通过极限定义收敛性。
1.2 部分和数列与级数收敛发散
概念讲解：
-
前(n)项和：(S_n=u_1+u_2+\dots+u_n)，称为级数的部分和；
-
数列({S_n})称为部分和数列。
收敛定义：若(\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S)（(S)为有限常数），称级数(\sum u_n)收敛，(S)为级数的和；
发散定义：若(\lim\limits_{n\to\infty}S_n)不存在或为(\pm\infty)，称级数发散。
核心逻辑：级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性。
1.3 级数收敛的必要条件
定理：若(\sum_{n=1}^{\infty}u_n)收敛，则(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0)。
概念讲解：
-
必要条件≠充分条件：通项趋于0，级数不一定收敛（如调和级数(\sum\frac{1}{n})）；
-
逆否命题是判散核心工具：若(\lim\limits_{n\to\infty}u_n\neq0)，级数必发散。
1.4 级数的基本性质
-
级数乘非零常数(k)，敛散性不变；
-
两个收敛级数(\sum u_n、\sum v_n)逐项相加/减，仍收敛；
-
级数增减、修改有限项，敛散性不变；
-
收敛级数任意加括号，仍收敛且和不变；发散级数加括号可能收敛。
1.5 两个基准级数（考研判敛核心参照）
（1）等比级数（几何级数）
形式：(\sum_{n=0}{\infty}aqn(a\neq0))
收敛性：
-
(|q|<1)：收敛，和(S=\frac{a}{1-q})；
-
(|q|\geq1)：发散。
（2）(p)-级数
形式：(\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{np})
收敛性：
-
(p>1)：收敛；
-
(p\leq1)：发散。特例：(p=1)为调和级数(\sum\frac{1}{n})，是典型的通项趋于0但发散的级数。
第二章 正项级数及其审敛法
2.1 正项级数概念
定义：若级数(\sum u_n)满足(u_n\geq0(\forall n))，称为正项级数。
概念讲解：正项级数的部分和数列({S_n})是单调递增数列，因此正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有上界。
2.2 比较审敛法
（1）一般形式
设(\sum u_n、\sum v_n)为正项级数，且(u_n\leq v_n(n\geq N))：
-
大收敛⇒小收敛；
-
小发散⇒大发散。
（2）极限形式（考研最常用）
[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l
]
-
(0<l<+\infty)：两级数同敛散；
-
(l=0)：(\sum v_n)收敛⇒(\sum u_n)收敛；
-
(l=+\infty)：(\sum v_n)发散⇒(\sum u_n)发散。
概念讲解：本质是比较两个级数通项的无穷小阶数，同阶无穷小对应同敛散。
2.3 比值审敛法（达朗贝尔判别法）
[
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho
]
-
(\rho<1)：收敛；
-
(\rho>1)：发散；
-
(\rho=1)：失效。
适用场景：通项含(n!、an、nn)等阶乘、指数形式。
2.4 根值审敛法（柯西判别法）
[
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho
]
-
(\rho<1)：收敛；
-
(\rho>1)：发散；
-
(\rho=1)：失效。
适用场景：通项含(n)次幂结构，适用范围比比值法更广。
2.5 积分审敛法
设(f(x))在([1,+\infty))上非负、连续、单调递减，且(u_n=f(n))，则(\sum_{n=1}{\infty}u_n)与反常积分(\int_{1}{+\infty}f(x)dx)同敛散。
概念讲解：将级数求和转化为无穷积分，用积分判敛替代级数判敛。
第三章 交错级数与任意项级数
3.1 交错级数概念
定义：正负项交替出现的级数，形式为：
[
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n-1}u_n\quad(u_n>0)
]
3.2 莱布尼茨审敛法
若交错级数满足：
-
(u_{n+1}\leq u_n)（({u_n})单调递减）；
-
(\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0)；则级数收敛，且余项满足(|r_n|\leq u_{n+1})。
概念讲解：莱布尼茨条件是充分非必要条件，满足则必收敛，收敛的交错级数不一定满足单调递减。
3.3 绝对收敛与条件收敛
（1）定义
对任意项级数(\sum u_n)：
-
绝对收敛：(\sum|u_n|)收敛⇒原级数必收敛；
-
条件收敛：(\sum u_n)收敛，但(\sum|u_n|)发散。
（2）核心性质
-
绝对收敛级数：任意重排项的顺序，和不变；
-
条件收敛级数：可通过重排得到任意实数和，甚至发散；
-
绝对收敛±条件收敛=条件收敛；
-
绝对收敛±发散=发散。
第四章 幂级数
4.1 幂级数基本概念
定义：形如
[
\sum_{n=0}{\infty}a_nxn=a_0+a_1x+a_2x2+\dots+a_nxn+\dots
]
的级数称为幂级数，(a_n)为幂级数系数。
概念讲解：幂级数是函数项级数，每给定一个(x)，就对应一个常数项级数，收敛的(x)集合称为收敛域。
4.2 阿贝尔定理
定理：
-
若(\sum a_nx^n)在(x=x_0\neq0)收敛，则对所有(|x|<|x_0|)，幂级数绝对收敛；
-
若在(x=x_0)发散，则对所有(|x|>|x_0|)，幂级数发散。
概念讲解：幂级数的收敛域是以原点为中心的对称区间，收敛范围具有严格的对称性。
4.3 收敛半径、收敛区间、收敛域
（1）收敛半径公式
[
\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\quad\text{或}\quad\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
]
[
R=
]
-
(R)：收敛半径；
-
((-R,R))：收敛区间；
-
收敛域：收敛区间(+)验证端点(x=\pm R)的敛散性。
4.4 幂级数和函数的性质
-
连续性：和函数(s(x))在收敛域上连续；
-
逐项求导：收敛区间内可逐项求导，收敛半径不变；
-
逐项积分：收敛区间内可逐项积分，收敛半径不变。
概念讲解：逐项运算后，仅端点敛散性可能改变，是幂级数求和、展开的核心工具。
4.5 常用麦克劳林展开式（必背）
[
\begin{align*}
\frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}{\infty}xn,|x|<1\
ex&=\sum_{n=0}{\infty}\frac{x^n}{n!},x\in\mathbb{R}\
\sin x&=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)nx^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in\mathbb{R}\
\cos x&=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(-1)nx^{2n}}{(2n)!},x\in\mathbb{R}\
\ln(1+x)&=\sum_{n=1}{\infty}\frac{(-1){n-1}x^n}{n},x\in(-1,1]
\end{align*}
]
4.6 幂级数求和与函数展开
-
求和函数：先求收敛域，再通过逐项求导/积分转化为等比级数，求和后逆运算还原；
-
函数展幂级数：优先用间接法，套用已知展开式+变量代换/逐项运算。
第五章 傅里叶级数（数学一专属）
5.1 傅里叶级数概念
定义：对周期为(2\pi)的函数(f(x))，形如
[
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)
]
的三角级数称为(f(x))的傅里叶级数。
5.2 狄利克雷收敛定理
定理：若(f(x))在([-\pi,\pi])上满足：
-
连续或仅有有限个第一类间断点；
-
仅有有限个极值点；则傅里叶级数收敛，且
[
S(x)=
\begin{cases}
f(x),&x\text{为连续点}\
\frac{f(x-)+f(x+)}{2},&x\text{为间断点}
\end{cases}
]
5.3 傅里叶系数公式
周期(2\pi)：
[
]
周期(2l)：
[
]
5.4 正弦级数与余弦级数
-
偶函数(f(x))：(b_n=0)，仅含余弦项，为余弦级数；
-
奇函数(f(x))：(a_0=a_n=0)，仅含正弦项，为正弦级数。
第六章 级数解题通用逻辑
-
第一步：检验收敛必要条件(\lim u_n=0)，不满足直接判发散；
-
第二步：正项级数→优先比值/根值，复杂分式用比较法；
-
第三步：交错级数→莱布尼茨判别法；
-
第四步：任意项级数→先判绝对收敛，再判条件收敛；
-
幂级数：先求收敛域，再用逐项运算求和/展开；
-
傅里叶级数：先算系数，再用狄利克雷定理判和。