无穷级数求和

无穷级数专题 · 级数求和

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一、核心概念与底层逻辑

1. 级数求和的本质

对于级数 (\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n)，其和定义为部分和数列的极限：
[
S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\big(u_1+u_2+\cdots+u_n\big)
]

• 极限存在 ⇨ 级数收敛，才有确定的和；

• 极限不存在 ⇨ 级数发散，无和可言。

2. 级数求和两大分支

1. 常数项级数求和：结果为一个常数

2. 幂级数求和函数：结果为一个函数 (S(x))，并必须附带收敛域

3. 幂级数必备分析性质（求和核心工具）

设幂级数 (\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_nxn) 收敛半径为 (R>0)，和函数为 (S(x))，则在 ((-R,R)) 内：

1. 连续性：(S(x)) 连续；

2. 逐项积分：
   [
   \int_0^x S(t)\mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{{\infty}\int_0}x a_n t^n\mathrm{d}t
   = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{a_n}{n+1}x}{n+1}
   ]

3. 逐项求导：
   [
   S’(x) = \sum_{n=0}^{{\infty}\big(a_nx}n\big)’
   = \sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{n-1}
   ]

• 收敛半径：逐项求导/积分后均不变；

• 收敛域：端点的敛散性可能改变，需单独验证。

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二、常数项级数求和方法（全题型）

1. 定义法（部分和极限法）

适用场景

• 等比级数、等差级数

• 裂项相消（望远镜级数）

• 可通过化简直接求出 (S_n) 表达式的级数

核心公式

[
\sum_{n=1}^{\infty}u_n = \lim_{n\to\infty}S_n
]

典型例子

• 等差级数：本质必发散

• 等比级数：(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}qn) 收敛当且仅当 (|q|<1)

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2. 等比级数求和公式（最基础工具）

1. 标准形式（(n) 从 0 开始）
   [
   \sum_{n=0}^{\infty} aq^n = \frac{a}{1-q},\quad |q|<1
   ]

2. (n) 从 1 开始
   [
   \sum_{n=1}^{\infty} aq^n = \frac{aq}{1-q},\quad |q|<1
   ]

高频变形：(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)n x^{n, \sum_{n=0}}{\infty}x^{{2n}, \sum_{n=0}}{\infty}\left(\frac12\right)^n)

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3. 裂项相消法（高频）

（1）常规分式裂项

[
\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k\left( \frac1n - \frac1{n+k} \right)
]
例：
[
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}
= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1{n+1}\right)=1
]

（2）根式裂项

[
\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}
]

（3）阶乘型裂项

[
\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}
]

（4）三角/对数型裂项

[
\ln\frac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n
]

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4. 幂级数赋值法（数一最重要）

思路

1. 把常数项级数看成某个幂级数在收敛域内某点 (x=x_0) 的取值；

2. 先求幂级数的和函数 (S(x))；

3. 代入 (x=x_0) 得到数值和。

典型适用

[
\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{1}{n2}n},\quad
\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(-1)}n}{2n+1},\quad
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{n!}
]

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5. 利用已知特殊级数和（可直接背诵）

[
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{n-1}}{n} &= \ln 2 \[4pt]
\sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(-1)}n}{2n+1} &= \frac{\pi}{4} \[4pt]
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} &= e \[4pt]
\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{1}{n}2} &= \frac{\pi^2}{6}
\end{align*}
]

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三、幂级数求和函数（考研核心大题）

1. 标准解题四步法（万能流程）

1. 求收敛域

• 用比值/根值法求收敛半径 (R)

• 单独判断端点 (x=\pm R) 敛散性

• 写出完整收敛域

2. 观察通项结构

• 系数含 (n,n^2,n(n+1)) ⇒ 优先逐项积分

• 系数含 (\dfrac1n,\dfrac{1}{n+1}) ⇒ 优先逐项求导

• 含 (n!) ⇒ 直接匹配 (e^x,\sin x,\cos x)

3. 化为已知基本展开式
   利用逐项运算，把级数变成等比级数或基本初等函数展开式。

4. 逆运算还原 + 定常数 + 写收敛域

• 积分后求导 / 求导后积分

• 用 (S(0)) 确定积分常数

• 收敛域必须标注

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2. 考研必背 8 个标准幂级数展开式

1. (\displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}xn,\quad |x|<1)

2. (\displaystyle \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)n x^n,\quad |x|<1)

3. (\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{x}n}{n!},\quad x\in\mathbb R)

4. (\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(-1)}n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R)

5. (\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(-1)}n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R)

6. (\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{{\infty}\frac{(-1)}{n-1}x^n}{n},\quad x\in(-1,1])

7. (\displaystyle \ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{x}n}{n},\quad x\in[-1,1))

8. (\displaystyle (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x}n,\quad |x|<1)

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3. 按题型分类处理套路

题型1：系数含 (n, n^2, n(n+1))

策略：先逐项积分，消去多项式系数
例：(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n x^n)

• 积分 ⇒ 等比级数 ⇒ 求和 ⇒ 求导还原

题型2：系数含 (\dfrac1n, \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{2n+1})

策略：先逐项求导，化为等比级数
例：(\displaystyle \sum_{n=1}^{{\infty}\frac{x}n}{n})

• 求导 ⇒ 等比 ⇒ 求和 ⇒ 积分还原

题型3：缺项幂级数

形如：
[
\sum a_n x^{2n},\quad \sum a_n x^{2n+1},\quad \sum a_n x^{3n}
]
方法：令 (t=x^k) 换元，视为关于 (t) 的普通幂级数
⚠ 不可直接套 (R=\dfrac1{\lim|a_{n+1}/a_n|})

题型4：中心不在原点

[
\sum a_n (x-x_0)^n
]
方法：令 (t=x-x_0)，转化为 (\sum a_n t^n)

题型5：含阶乘 (n!)

直接匹配 (e^x,\sin x,\cos x) 展开式，常用拆项、补项、提取 (x)。

题型6：微分方程法（高阶）

构造 (S(x)) 满足的微分方程 + 初始条件 (S(0),S’(0))，解微分方程得到和函数。

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四、通用变形技巧（提高速度必备）

1. 下标平移
   [
   \sum_{n=1}^{\infty} = \sum_{n=0}^{\infty} - a_0
   ]

2. 提取/乘入 (x^k)
   调整幂次，匹配标准展开式形式。

3. 拆项重组
   [
   \sum (A_n+B_n)x^n = \sum A_nx^n + \sum B_nx^n
   ]

4. 对称构造
   对交错级数、奇偶项级数，合并为 (\sin,\cos,e^x\pm e^{-x}) 等。

5. 常数补齐
   逐项积分后一定用 (S(0)) 定常数，不可遗漏。

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五、高频易错点（扣分重灾区）

1. 只写和函数，不标注收敛域（大题直接扣分）；

2. 逐项积分后忘记加常数，或不会用 (S(0)) 确定常数；

3. 混淆 (n=0) 与 (n=1)，多减/少加首项；

4. 缺项幂级数误用常规收敛半径公式；

5. 端点收敛但强行套用开区间表达式；

6. 基本展开式符号、幂次、阶乘记混；

7. 逐项求导/积分后幂次计算错误。

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六、综合解题模板

1. 常数项级数求和

1. 看是否为等比/裂项，直接算；

2. 否则构造幂级数 (\sum a_n x^n)；

3. 求收敛域与和函数 (S(x))；

4. 代入对应 (x_0) 得结果。

2. 幂级数求和函数

1. 求收敛域；

2. 判结构：积分/求导；

3. 化为已知展开式；

4. 逆运算 + 定常数；

5. 写 (S(x)) 与收敛域。