多维随机变量与雅可比

多维随机变量及其分布

（数一专属 | 含离散+离散/离散+连续/连续+连续 | 三大函数 | 全程雅可比行列式解法）

一、核心基础知识点

1. 基本定义

1. 二维连续联合密度：，边缘密度
   

2. 独立充要条件：

3. 二维离散：联合分布律

2. 雅可比行列式（连续变量变换唯一核心工具）

设二维可逆变换

雅可比行列式

新二维联合密度：

再对积分消元，得一维的密度

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二、三大函数 雅可比标准变换公式

1.

设辅助变量

积分消去：

独立时卷积公式：

2.

设辅助变量

3.

设辅助变量

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三、三类组合题型全覆盖

题型1：离散 + 离散（不用雅可比，枚举取值求和）

解题思路

1. 列出所有可能取值

2. 算出所有组合取值

3. 同值概率相加，写分布律

示例

独立，求分布律

1. ：取值，累加概率

2. ：取值

3. ：剔除无意义点，只算有效取值

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题型2：离散 + 连续（全概率公式为主）

通用解法

设离散，取值，连续

对连续部分积分求概率，再求和。

典型考法

服从0-1分布，正态/均匀，求分布函数/密度。

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题型3：连续 + 连续（雅可比行列式必考，考研重点）

例1： 独立均匀分布

设独立，求

1. 联合密度：

2. 代入和公式：
   

3. 分段积分得三角分布密度。

例2： 独立连续变量

独立，均服从指数分布，用雅可比公式

直接代入边缘密度积分即可。

例3： 标准雅可比例题

独立正态，求商分布，直接套用：

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四、考研必背结论

1. 两个独立正态相加仍为正态：
   $$X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_22)$$

2. 连续函数求分布优先雅可比，比分布函数法更快

3. 离散混合题型只用全概率，不使用变量替换

4. 雅可比永远取绝对值，符号不影响概率密度

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五、刷题顺序建议

1. 先吃透连续+连续三大函数雅可比推导

2. 再练离散+离散分布律求和

3. 最后攻克最难：离散+连续全概率综合题

4. 重点刷真题：数一历年和、积、商函数分布大题