随机变量数字特征
一、基础定义（离散+连续+二维通用）
1. 数学期望
一维
-
离散：
-
连续：
-
函数期望：
二维
2. 方差
$$D(X)=E\left[(X-E(X))2\right]=E(X2)-[E(X)]^2$$
标准差：
3. 协方差
4. 相关系数
取值：
5. 矩
-
阶原点矩： -
阶中心矩： -
二阶混合中心矩：即协方差
二、核心必背性质（考研重中之重）
1. 期望性质（无条件恒成立）
-
， 为常数 -
（线性万能公式） -
独立/不相关：
2. 方差性质
-
-
（常数不影响方差） -
和差通用公式：
-
独立/不相关：
-
几乎处处为常数
3. 协方差性质
4. 相关系数核心性质
-
：完全正线性相关， -
：完全负线性相关， -
： 不相关（无线性关系）
5. 独立 & 不相关 逻辑关系
-
一般分布：
，反之不成立 -
二维正态分布专属结论：
考研最高频考点
三、常见分布数字特征速记表
| 分布 | 数学期望 |
方差 |
|---|---|---|
| 0-1分布 |
||
| 二项分布 |
||
| 泊松分布 |
||
| 均匀分布 |
||
| 指数分布 |
||
| 正态分布 |
||
| 几何分布 |
四、高频万能推导公式
-
$E(X2)=D(X)+(EX)2$（使用频率最高）
-
-
$D(aX+bY)=a2DX+b2DY+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)$
-
若
，则
五、拓展拔高知识（数一必考）
1. 切比雪夫不等式（填空必考）
设
$$P{|X-\mu|\ge\varepsilon}\le\frac{\sigma2}{\varepsilon2}
作用：无分布类型，粗略估计概率
2. 三大大数定律
-
切比雪夫大数定律：方差一致有界，样本均值依概率收敛于期望
-
伯努利大数定律：频率依概率收敛于概率
-
辛钦大数定律：同分布、期望存在，样本均值收敛于期望
3. 两大中心极限定理（大题高频）
-
列维-林德伯格：独立同分布，
-
棣莫弗-拉普拉斯：二项分布近似正态
用途：大样本下近似计算概率
4. 条件数字特征（难题拓展）
六、考研高频考点&必考题型
1. 基础计算类
-
直接求一维/二维随机变量期望、方差
-
利用线性性质跳过积分求和，简化运算
-
由
求$E(X2),E[(X+C)2]$
2. 协方差与相关系数大题
-
已知联合分布求
-
判断是否线性相关、是否相互独立
-
求
3. 独立与不相关判定（选择易错）
-
普通分布：不相关≠独立
-
二维正态：等价关系直接秒选
4. 函数型数字特征
求
5. 不等式与极限考点
-
切比雪夫不等式估值
-
中心极限定理近似求概率（应用题主流）
6. 混合变量数字特征
离散+连续组合变量求期望方差，用全期望公式
七、高频易错点（必避坑）
-
指数分布期望方差极易记反：
-
只有独立/不相关才能拆开方差，和差方差不能直接相加
-
，无独立条件绝对不能乱用 -
相关系数为0仅无线性相关，不代表无任何函数关系
-
均匀分布方差分母是12，不要写成6
-
中心极限定理必须满足n充分大才能近似正态
八、考研答题解题套路
-
求数字特征优先用性质，少硬算积分
-
出现
方差，先写通用式，再判断是否独立消去协方差 -
判定独立不相关：先算协方差，
即不相关 -
近似概率题：优先套中心极限定理标准化
-
粗略估概率：直接用切比雪夫不等式
、